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2012年上海市春季高考数学试卷
ID:45333 2021-10-23 7页1111 41.17 KB
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2012年上海市春季高考数学试卷一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,要求直接填写结果,每题答对得4分,否则一律得零分。)1.已知集合A={1, 2, k},B={2, 5}.若A∪B={1, 2, 3, 5},则k=________.2.函数y=x+2的定义域是________.3.抛物线y2=8x的焦点坐标是________.4.若复数z满足iz=1+i(i为虚数单位),则z=________.5.函数f(x)=sin(2x+π4)的最小正周期为________.6.方程4x-2x+1=0的解为________.7.若(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a0+a1+a2+a3+a4+a5=________.8.若f(x)=(x+2)(x+m)x为奇函数,则实数m=________.9.函数y=log2x+4log2x(x∈[2,4])的最大值为________.10.若复数z满足|z-i|≤2(i为虚数单位),则z在复平面内所对应的图形的面积为________.11.某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的志愿者中,男、女生都有的概率为________.(结果用数值表示)12.若不等式x2-kx+k-1>0对x∈(1, 2)恒成立,则实数k的取值范围是________.13.已知等差数列{an}的首项及公差均为正数,令bn=an+a2012-n(n∈N*,n<2012).当bk是数列{bn}的最大项时,k=________.14.若矩阵a11a12a21a22满足a11,a12,a21,a22∈{-1, 1},且a11a12a21a22=0,则这样的互不相等的矩阵共有________个.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,选对得5分,否则一律得零分。)15.已知椭圆C1:x212+y24=1,C2:x216+y28=1,则()A.C1与C2顶点相同B.C1与C2长轴长相同C.C1与C2短轴长相同D.C1与C2焦距相等16.记函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x).如果函数y=f(x)的图象过点(1, 0),那么函数y=f-1(x)+1的图象过点()A.(0, 0)B.(0, 2)C.(1, 1)D.(2, 0)17.已知空间三条直线l、m、n.若l与m异面,且l与n异面,则()A.m与n异面B.m与n相交C.m与n平行D.m与n异面、相交、平行均有可能试卷第7页,总7页 18.设O为△ABC所在平面内一点.若实数x、y、z满足xOA→+yOB→+zOC→=0→,(x2+y2+z2≠0),则“xyz=0”是“点O在△ABC的边所在直线上”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须写出必要的步骤。)19.如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,高为2,M为线段AB的中点.求:(1)三棱锥C1-MBC的体积;(2)异面直线CD与MC1所成角的大小(结果用反三角函数值表示).20.某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为30千米(忽略内、外环线长度差异).(1)当9列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,求内环线列车的最小平均速度;(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时,外环线列车平均速度为30千米/小时.现内、外环线共有18列列车全部投入运行,要使内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟,向内、外环线应各投入几列列车运行?21.已知双曲线C1:x2-y24=1.(1)求与双曲线C1有相同焦点,且过点P(4, 3)的双曲线C2的标准方程;(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A,B两点.当OA→⋅OB→=3时,求实数m的值.22.已知数列{an}、{bn}、{cn}满足(an+1-an)(bn+1-bn)=cn(n∈N*).(1)设cn=3n+6,{an}是公差为3的等差数列.当b1=1时,求b2、b3的值;(2)设cn=n3,an=n2-8n.求正整数k,使得对一切n∈N*,均有bn≥bk;(3)设cn=2n+n,an=1+(-1)n2.当b1=1时,求数列{bn}的通项公式.23.定义向量OM→=(a, b)的“相伴函数”为f(x)=asinx+bcosx,函数f(x)=asinx+bcosx的“相伴向量”为OM→=(a, b)(其中O为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.试卷第7页,总7页 (1)设g(x)=3sin(x+π2)+4sinx,求证:g(x)∈S;(2)已知h(x)=cos(x+α)+2cosx,且h(x)∈S,求其“相伴向量”的模;(3)已知M(a, b)(b≠0)为圆C:(x-2)2+y2=1上一点,向量OM→的“相伴函数”f(x)在x=x0处取得最大值.当点M在圆C上运动时,求tan2x0的取值范围.试卷第7页,总7页 参考答案与试题解析2012年上海市春季高考数学试卷一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,要求直接填写结果,每题答对得4分,否则一律得零分。1.32.[-2, +∞)3.(2, 0)4.1-i5.π6.x=17.18.-29.510.2π11.141512.(-∞, 2]13.100614.8二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,选对得5分,否则一律得零分。15.D16.B17.D18.C三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须写出必要的步骤。19.解:(1)连接CM,∵正方形ABCD中,M为AB中点,且边长为1,∴△BCM的面积为S=14S正方形ABCD=14.又∵CC1⊥平面ABCD,∴CC1是三棱锥C1-MBC的高,∴三棱锥C1-MBC的体积为:VC1-MBC=13×14×2=16;试卷第7页,总7页 (2)连接BC1∵CD // AB,∴∠C1MB(或其补角)为异面直线CD与MC1所成的角.∵AB⊥平面B1C1CB,BC1⊂平面B1C1CB,∴AB⊥BC1.Rt△MC1B中,BC1=BC2+CC12=5,MB=12AB=12∴tan∠C1MB=BC1BM=25所以异面直线CD与MC1所成角为arctan25.20.解:(1)设内环线列车的平均速度为v千米/小时,则要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,可得309v×60≤10∴v≥20∴要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,内环线列车的最小平均速度是20千米/小时;(2)设内环线投入x列列车运行,则外环线投入(18-x)列列车运行,内、外环线乘客最长候车时间分别为t1,t2分钟,则t1=3025x×60=72x,t2=3030(18-x)×60=6018-x∴|t1-t2|=|72x-6018-x|≤1∴x2-150x+1296≤0x2+114x-1296≤0∴150-173162≤x≤-114+181802∵x∈N+,∴x=10∴当内环线投入10列列车运行,外环线投入8列列车时,内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟.21.解:(1)∵双曲线C1:x2-y24=1,∴焦点坐标为(5, 0),(-5, 0).设双曲线C2的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0, b>0),∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点,且过点P(4, 3),∴a2+b2=5,16a2-3b2=1,解得a=2,b=1.∴双曲线C2的标准方程为x24-y2=1.(2)双曲线C1的两条渐近线为y=2x,y=-2x,由y=2x,y=x+m,可得x=m,y=2m,∴A(m, 2m).由y=-2x,y=x+m,可得x=-13m,y=23m,∴试卷第7页,总7页 B(-13m, 23m),∴OA→⋅OB→=-13m2+43m2=m2.∵OA→⋅OB→=3,∴m2=3.∴m=±3.22.解:(1)∵an+1-an=3,∴bn+1-bn=n+2,∵b1=1,∴b2=4,b3=8.(2)∵an=n2-8n.∴an+1-an=2n-7,∴bn+1-bn=n32n-7,由bn+1-bn>0,解得n≥4,即b4b2>b3>b4.∴k=4.(3)∵an+1-an=(-1)n+1,∴bn+1-bn=(-1)n+1(2n+n).∴bn-bn-1=(-1)n(2n-1+n-1)(n≥2).故b2-b1=21+1;b3-b2=(-1)(22+2),…bn-1-bn-2=(-1)n-1(2n-2+n-2).bn-bn-1=(-1)n(2n-1+n-1).当n=2k时,以上各式相加得bn-b1=(2-22+...-2n-2+2n-1)+[1-2+...-(n-2)+(n-1)]=2-2n-1(-2)1-(-2)+n2=2+2n3+n2.∴bn=2+2n3+n2+1=2n3+n2+53.当n=2k-1时,bn=bn+1-(-1)n+1(2n+n)=2n+13+n+12+53-(2n+n)=-2n3-n2+136∴bn=-2n3-n2+136n=2k-12n3+n2+53n=2kk∈N+.23.g(x)=3sin(x+π2)+4sinx=4sinx+3cosx,其‘相伴向量’OM→=(4, 3),g(x)∈S.试卷第7页,总7页 h(x)=cos(x+α)+2cosx=(cosxcosα-sinxsinα)+2cosx=-sinαsinx+(cosα+2)cosx∴函数h(x)的‘相伴向量’OM→=(-sinα, cosα+2).则|OM→|=(-sinα)2+(cosα+2)2=5+4cosα.OM→的‘相伴函数’f(x)=asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ),其中cosφ=aa2+b2,sinφ=ba2+b2.当x+φ=2kπ+π2,k∈Z时,f(x)取到最大值,故x0=2kπ+π2-φ,k∈Z.∴tanx0=tan(2kπ+π2-φ)=cotφ=ab,tan2x0=2tanx01-tan2x0=2×ab1-(ab)2=2ba-ab.ba为直线OM的斜率,由几何意义知:ba∈[-33, 0)∪(0, 33].令m=ba,则tan2x0=2m-1m,m∈[-33, 0)∪(0,33}.当-33≤m<0时,函数tan2x0=2m-1m单调递减,∴0
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