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2008年上海市高考数学试卷(文科)
ID:45323 2021-10-23 6页1111 55.98 KB
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2008年上海市高考数学试卷(文科)一、填空题(共11小题,每小题4分,满分44分))1.不等式|x-1|<1的解集是________.2.若集合A={x|x≤2},B={x|x≥a}满足A∩B={2},则实数a=________.3.若复数z满足z=i(2-z)(i是虚数单位),则z=________.4.若函数f(x)的反函数为f-1(x)=log2x,则f(x)=________.5.若向量a→,b→满足|a→|=1,|b→|=2且a→与b→的夹角为π3,则|a→+b→|=________.6.若直线ax-y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点,则实数a=________.7.若z是实系数方程x2+2x+p=0的一个虚根,且|z|=2,则p=________.8.在平面直角坐标系中,从五个点:A(0, 0),B(2, 0),C(1, 1),D(0, 2),E(2, 2)中任取三个,这三点能构成三角形的概率是________(结果用分数表示).9.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a、b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞, 4],则该函数的解析式f(x)=________.10.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为10.5,平均数为10.若要使该总体的方差最小,则a、b的取值分别是________.11.在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为(0, 1),(4, 2),(2, 6).如果P(x, y)是△ABC围成的区域(含边界)上的点,那么当ω=xy取到最大值时,点P的坐标是________.二、选择题(共4小题,每小题4分,满分16分))12.设p是椭圆x225+y216=1上的点.若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于(    )A.4B.5C.8D.1013.给定空间中的直线l及平面α,条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的()条件.A.充要B.充分非必要C.必要非充分D.既非充分又非必要14.若数列{an}是首项为1,公比为a-32的无穷等比数列,且{an}各项的和为a,则a的值是()A.1B.2C.12D.5415.如图,在平面直角坐标系中,Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域(含边界),A、B、C、D是该圆的四等分点,若点P(x, y)、P'(x', y')满足x≤x'且y≥y'试卷第5页,总6页, ,则称P优于P',如果Ω中的点Q满足:不存在Ω中的其它点优于Q,那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧()A.ABB.BCC.CDD.DA三、解答题(共6小题,满分90分))16.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC1的中点.求直线DE与平面ABCD所成角的大小(结果用反三角函数值表示).17.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120∘的扇形AOB,小区的两个出入口设置在点A及点C处,且小区里有一条平行于BO的小路CD,已知某人从C沿CD走到D用了10分钟,从D沿DA走到A用了6分钟,若此人步行的速度为每分钟50米,求该扇形的半径OA的长(精确到1米)18.已知函数f(x)=sin2x,g(x)=cos(2x+π6),直线x=t(t∈R).与函数f(x),g(x)的图象分别交于M、N两点.(1)当t=π4时,求|MN|的值;(2)求|MN|在t∈[0,π2]时的最大值.19.已知函数f(x)=3x-13|x|.(1)若f(x)=2,求x的值;(2)若3tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[12,1]恒成立,求实数m的取值范围.20.已知双曲线C:x22-y2=1.(1)求双曲线C的渐近线方程;试卷第5页,总6页, (2)已知点M的坐标为(0, 1).设P是双曲线C上的点,Q是点P关于原点的对称点.记λ=MP→⋅MQ→.求λ的取值范围;(3)已知点D,E,M的坐标分别为(-2, -1),(2, -1),(0, 1),P为双曲线C上在第一象限内的点.记l为经过原点与点P的直线,s为△DEM截直线l所得线段的长.试将s表示为直线l的斜率k的函数.21.已知数列{an}:a1=1,a2=2,a3=r,an+3=an+2(n是正整数),与数列{bn}:b1=1,b2=0,b3=-1,b4=0,bn+4=bn(n是正整数).记Tn=b1a1+b2a2+b3a3+...+bnan.(1)若a1+a2+a3+...+a12=64,求r的值;(2)求证:当n是正整数时,T12n=-4n.试卷第5页,总6页, 参考答案与试题解析2008年上海市高考数学试卷(文科)一、填空题(共11小题,每小题4分,满分44分)1.(0, 2)2.23.1+i4.2x(x∈R)5.76.-17.48.459.-2x2+410.a=10.5,b=10.511.(52,5)二、选择题(共4小题,每小题4分,满分16分)12.D13.C14.B15.D三、解答题(共6小题,满分90分)16.解:过E作EF⊥BC,交BC于F,连接DF.∵EF⊥BC,CC1⊥BC∴EF // CC1,而CC1⊥平面ABCD∴EF⊥平面ABCD,∴∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角由题意,得EF=12CC1=1.∵CF=12CB=1,∴DF=5.∵EF⊥DF,∴tan∠EDF=EFDF=55.故直线DE与平面ABCD所成角的大小是arctan55试卷第5页,总6页, 17.该扇形的半径OA的长约为445米.法二:连接AC,作OH⊥AC,交AC于H,由题意,得CD=500(米),AD=300(米),∠CDA=120∘在△CDO中,AC2=CD2+AD2-2⋅CD⋅AD⋅cos120∘=5002+3002+2×500×300×12=7002.∴AC=700(米).cos∠CAD=AC2+AD2-CD22⋅AC⋅AD=1114.在直角△HAO中,AH=350(米),cos∠HAO=1114,∴OA=AHcos∠HAO=490011≈445(米).答:该扇形的半径OA的长约为445米.18.解:(1)将t=π4代入函数f(x)、g(x)中得到∵|MN|=|f(π4)-g(π4)|=|sin(2×π4)-cos(2×π4+π6)|=|1-cos2π3|=32.(2)∵|MN|=|f(t)-g(t)|=|sin2t-cos(2t+π6)|=|32sin2t-32cos2t|=3|sin(2t-π6)|∵t∈[0,π2],2t-π6∈[-π6,π-π6],∴|MN|的最大值为3.19.解(1)当x<0时,f(x)=3x-3x=0,∴f(x)=2无解;当x>0时,f(x)=3x-13x,3x-13x=2,∴(3x)2-2⋅3x-1=0,∴3x=1±2.∵3x>0,∴3x=1-2(舍).∴3x=1+2,∴x=log3(2+1).(2)∵t∈[12,1],∴f(t)=3t-13t>0,∴3t(32t-132t)+m(3t-13t)>0.∴3t(3t+13t)+m>0,即t∈[12,1]时m≥-32t-1恒成立又-32t-1∈[-10, -4],∴m≥-4.∴试卷第5页,总6页, 实数m的取值范围为[-4, +∞).20.解:(1)在双曲线C:x22-y2=1,把1换成0,所求渐近线方程为y-22x=0,y+22x=0(2)设P的坐标为(x0, y0),则Q的坐标为(-x0, -y0),λ=MP→⋅MQ→=(x0,y0-1)⋅(-x0,-yo-1)=-x02-y02+1=-32x02+2.∵|x0|≥2∴λ的取值范围是(-∞, -1].(3)若P为双曲线C上第一象限内的点,则直线l的斜率k∈(0,22).由计算可得,当k∈(0,12]时,s(k)=21-k21+k2;当k∈(12,22)时,s(k)=2k+1k+k21+k2.∴s表示为直线l的斜率k的函数是s(k)=21-k21+k2k∈(012]2k+1k+k21+k2k∈(1222).21.解:(1)a1+a2+a3+...+a12=1+2+r+3+4+(r+2)+5+6+(r+4)+7+8+(r+6)=48+4r.∵48+4r=64,∴r=4.证明:(2)用数学归纳法证明:当n∈Z+时,T12n=-4n.①当n=1时,T12=a1-a3+a5-a7+a9-a11=-4,等式成立②假设n=k时等式成立,即T12k=-4k,那么当n=k+1时,T12(k+1)=T12k+a12k+1-a12k+3+a12k+5-a12k+7+a12k+9-a12k+11=-4k+(8k+1)-(8k+r)+(8k+4)-(8k+5)+(8k+r+4)-(8k+8)=-4k-4=-4(k+1),等式也成立.根据①和②可以断定:当n∈Z+时,T12n=-4n.试卷第5页,总6页
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