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2008年上海市高考数学试卷(理科)
ID:45322 2021-10-23 7页1111 62.64 KB
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2008年上海市高考数学试卷(理科)一、填空题(共11小题,每小题4分,满分44分))1.不等式޺㴈的解集是________.2.若集合޺,޺满足޺,则实数________.3.若复数满足݅޺ʹ(是虚数单位),则________.4.若函数݅ʹ的反函数为޺݅ʹ݅൐ʹ,则݅ʹ________.5.若向量,满足ͳ且与的夹角为,则________.6.函数݅ʹsinsin݅ʹ的最大值是________.7.在平面直角坐标系中,从六个点:݅൐ͳ൐ʹ、݅ͳ൐ʹ、݅ͳʹ、݅൐ͳʹ、݅ͳʹ、݅ͳʹ中任取三个,这三点能构成三角形的概率是________(结果用分数表示).8.设函数݅ʹ是定义在上的奇函数,若当݅൐ͳʹ时,݅ʹlg,则满足݅ʹ൐的的取值范围是________.9.已知总体的各个体的值由小到大依次为,,,,,,,㜲,′㜲,൐,且总体的中位数为൐㜲⸰,平均数为൐.若要使该总体的方差最小,则、的取值分别是________.10.某海域内有一孤岛,岛四周的海平面(视为平面)上有一浅水区(含边界),其边界是长轴长为,短轴长为的椭圆,已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为、,且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上,现有船只经过该海域(船只的大小忽略不计),在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为、,那么船只已进入该浅水区的判别条件是________.11.方程޺൐的解可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标,若޺൐的各个实根,,…,݅ʹ所对应的点݅ͳʹ݅ͳ,…,ʹ均在直线的同侧,则实数的取值范围是________.二、选择题(共4小题,每小题4分,满分16分))12.组合数݅ͳ、ʹ恒等于()޺޺A.B.݅ʹ݅ʹ޺޺޺޺C.D.޺޺13.给定空间中的直线及平面,条件“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的()条件.试卷第1页,总7页 A.充要B.充分非必要C.必要非充分D.既非充分又非必要14.若数列޺是首项为,公比为޺的无穷等比数列,且޺各项的和为,则的值是()⸰A.B.C.D.15.如图,在平面直角坐标系中,是一个与轴的正半轴、轴的正半轴分别相切于点、的定圆所围成区域(含边界),、、、是该圆的四等分点,若点݅ͳʹ、݅ͳʹ满足且,则称优于,如果中的点满足:不存在中的其它点优于,那么所有这样的点组成的集合是劣弧()A.B.C.D.三、解答题(共6小题,满分90分))16.如图,在棱长为的正方体޺中,是的中点.求直线与平面所成角的大小(结果用反三角函数值表示).17.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为൐的扇形扇,小区的两个出入口设置在点及点处,且小区里有一条平行于扇的小路,已知某人从沿走到用了൐分钟,从沿走到用了分钟,若此人步行的速度为每分钟⸰൐米,求该扇形的半径扇的长(精确到米)18.已知双曲线:޺,为双曲线上任意一点.试卷第2页,总7页 (1)求证:点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;(2)若点݅ͳ൐ʹ,求的最小值.19.已知函数݅ʹ޺.(1)若݅ʹ,求的值;(2)若݅ʹ݅ʹ൐对于,恒成立,求实数的取值范围.20.设݅ͳʹ݅൐ʹ是平面直角坐标系扇中的点,是经过原点与点݅ͳʹ的直线,记是直线与抛物线䁜݅䁜൐ʹ的异于原点的交点(1)若,,䁜,求点的坐标(2)若点݅ͳʹ݅൐ʹ在椭圆上,䁜,求证:点落在双曲线޺上(3)若动点݅ͳʹ满足൐,䁜,若点始终落在一条关于轴对称的抛物线上,试问动点的轨迹落在哪种二次曲线上,并说明理由.㴈21.已知以为首项的数列޺满足:(1)当,,时,求数列޺的通项公式(2)当൐㴈㴈,,时,试用表示数列޺的前൐൐项的和൐൐(3)当൐㴈㴈(是正整数),,时,求证:数列޺,޺,޺,޺成等比数列当且仅当.试卷第3页,总7页 参考答案与试题解析2008年上海市高考数学试卷(理科)一、填空题(共11小题,每小题4分,满分44分)1.݅൐ͳʹ2.3.4.5.6.7.8.݅޺ͳ൐ʹ݅ͳʹ9.൐㜲⸰,൐㜲⸰10.cotcot11.݅޺ͳ޺ʹ݅ͳʹ二、选择题(共4小题,每小题4分,满分16分)12.D13.C14.B15.D三、解答题(共6小题,满分90分)16.解:过作,交于,连接.∵,∴,而平面∴平面,∴是直线与平面所成的角由题意,得.∵,⸰.试卷第4页,总7页 ⸰∵,∴tan.⸰⸰故直线与平面所成角的大小是arctan⸰17.该扇形的半径扇的长约为⸰米.法二:连接,作扇,交于,由题意,得⸰൐൐(米),൐൐(米),൐在扇中,޺cos൐⸰൐൐൐൐⸰൐൐൐൐൐൐.∴൐൐(米).޺cos.在直角扇中,⸰൐(米),cos扇,൐൐∴扇⸰(米).cos扇答:该扇形的半径扇的长约为⸰米.18.(1)证明:设݅ͳʹ,由题意得双曲线的两条渐近线方程分别为޺޺൐和൐,则点݅ͳʹ到两条渐近线的距离分别为和,又⸰⸰޺޺,所以点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常⸰⸰⸰⸰数.(2)解:设݅ͳʹ,则⸰݅޺ʹ݅޺ʹ޺݅޺ʹ⸰⸰因为,所以当时,有最小值,⸰⸰⸰即的最小值为.⸰19.解(1)当㴈൐时,݅ʹ޺൐,∴݅ʹ无解;当൐时,݅ʹ޺,޺,∴݅ʹ޺޺൐,∴.∵൐,∴޺(舍).∴,试卷第5页,总7页 ∴log݅ʹ.(2)∵,,∴݅ʹ޺൐,∴݅޺ʹ݅޺ʹ൐.∴݅ʹ൐,即,时޺޺恒成立又޺޺޺൐ͳ޺,∴޺.∴实数的取值范围为޺ͳʹ.20.解:(1)当,,䁜时,′解方程组得即点的坐标为݅′ͳʹ(2)证明:由方程组得即点的坐标为݅,ʹ∵时椭圆上的点,即∴݅ʹ޺݅ʹ݅޺ʹ,因此点落在双曲线޺上(3)设所在的抛物线方程为݅޺ʹ,൐将݅,ʹ代入方程,得݅޺ʹ,即޺当൐时,,此时点的轨迹落在抛物线上;当时,݅޺ʹ,此时点的轨迹落在圆上;݅޺ʹ当൐且时,,此时点的轨迹落在椭圆上;݅޺ʹ当㴈൐时޺,此时点的轨迹落在双曲线上;݅޺ʹͳ޺21.解:(1)由题意得ͳ޺,݅ʹͳ(2)当൐㴈㴈时,,,,⸰,,,޺޺,޺,޺∴൐൐݅ʹ݅⸰ʹ㜲㜲㜲݅′൐൐ʹ试卷第6页,总7页 ݅ʹ݅ʹ݅ʹ݅ʹ݅ʹ݅޺ʹ′(3)当时,,޺∵޺㴈㴈,∴;∵޺㴈㴈∴;∵޺㴈㴈,∴,∴޺,޺,޺,∴޺综上所述,当时,数列޺,޺,޺,޺是公比为的等比数列当时,݅൐ͳʹ,݅ͳʹ,݅൐ͳʹ,޺݅޺ͳʹ,由于޺㴈൐,޺൐,޺൐故数列޺,޺,޺,޺,不是等比数列所以,数列޺,޺,޺,޺,成等比数列当且仅当试卷第7页,总7页
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