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2006年上海市高考数学试卷(理科)
ID:45316 2021-10-23 8页1111 67.27 KB
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2006年上海市高考数学试卷(理科)一、填空题(共12小题,每小题4分,满分48分))1.已知集合=‴㈱⸶⸶݉‴㈱,集合=⸶݉.若,则实数݉=________.2.已知圆‴T‴Tt的圆心是点,则点到直线‴‴㈱的距离是________.3.若函数ሺݔ㈱‴⸶ሺ点过象图的数函反的ݔ㈱且,䁔ሺݔ,则________.lim4.计算:________;t㈱5.若复数同时满足‴ㄶ,ㄶ(ㄶ为虚数单位),则________;㈱6.如果cos,且是第四象限的角,那么cosሺtݔ________.7.已知椭圆中心在原点,一个焦点为ሺ‴⸶ݔ,且长轴长是短轴长的倍,则该椭圆的标准方程是________.8.在极坐标系中,是极点,设点ሺT⸶ݔ‴⸶ሺ,ݔ,则的面积是________.9.两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成,每卷㈱本,共本.将它们任意地排成一排,左边T本恰好都属于同一部小说的概率是________(结果用分数表示).10.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________.11.若曲线t㈱与直线䁞t香没有公共点,则䁞、香分别应满足的条件是________.12.三个同学对问题“关于的不等式tt‴在㈱⸶㈱䁃上恒成立,求实数的取值范围”提出各自的解题思路.甲说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”.乙说:“把不等式变形为左边含变量的函数,右边仅含常数,求函数的最值”.丙说:“把不等式两边看成关于的函数,作出函数图象”.参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即的取值范围是________.二、选择题(共4小题,每小题4分,满分16分))13.如图,在平行四边形中,下列结论中错误的是ሺݔA.B.tC.‴D.t14.若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的()试卷第1页,总8页 A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件15.若关于的不等式ሺ㈱t䁞ݔ䁞TtT的解集是,则对任意实常数䁞,总有()A.,B.,C.,D.,16.如图,平面中两条直线㈱和相交于点,对于平面上任意一点,若、分别是到直线㈱和的距离,则称有序非负实数对ሺ⸶ݔ是点的“距离坐标”.已知常数,,给出下列命题:①若,则“距离坐标”为ሺ⸶ݔ的点有且仅有㈱个;②若,且t,则“距离坐标”为ሺ⸶ݔ的点有且仅有个;③若,则“距离坐标”为ሺ⸶ݔ的点有且仅有T个.上述命题中,正确命题的个数是()A.B.㈱C.D.三、解答题(共6小题,满分86分))17.求函数cosሺtݔcosሺ‴ݔtsin的值域和最小正周期.TT18.如图,当甲船位于处时获悉,在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西,相距㈱海里处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援(角度精确到㈱)?19.在四棱锥‴中,底面是边长为的菱形,,对角线与相交于点,平面,与平面所成的角为.(1)求四棱锥‴的体积;试卷第2页,总8页 (2)若是的中点,求异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数值表示).20.在平面直角坐标系中,直线与抛物线相交于,两点.ሺ㈱ݔ⸶ሺ点过线直果如”:证求ݔ,那么”是真命题;ሺݔ写出ሺ㈱ݔ中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.21.已知有穷数列共有䁞项(整数䁞),首项㈱.设该数列的前项和为,且t㈱ሺ‴㈱ݔ㈱‴䁞,…,⸶㈱ሺtݔ,其中常数䁔㈱.(1)求证:数列是等比数列;㈱(2)若䁞‴㈱,数列香满足香logሺ㈱ݔሺ㈱⸶,…,䁞ݔ,求数列香的通项公式;(3)若(2)中的数列香满足不等式香㈱‴t香‴tt香䁞‴㈱‴t香䁞‴T,求䁞的值.22.已知函数t有如下性质:如果常数䁔,那么该函数在ሺ⸶䁃上是减函数,在⸶tݔ上是增函数.香ሺtݔt⸶为域值的ݔ䁔ሺt数函果如ݔ,求香的值;ሺttݔ研究函数t(常数䁔)在定义域内的单调性,并说明理由;ሺtttݔ对函数t和t(常数䁔)作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例.研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明),并求函数㈱㈱㈱ሺݔtሺtݔtሺݔ(是正整数)在区间⸶䁃上的最大值和最小值(可利用你的研究结论).试卷第3页,总8页 参考答案与试题解析2006年上海市高考数学试卷(理科)一、填空题(共12小题,每小题4分,满分48分)1.㈱2.㈱3.㈱4.5.ㄶ‴㈱6.7.t㈱㈱T8.㈱9.10.11.䁞,香ሺ‴㈱⸶㈱ݔ12.ሺ‴⸶㈱䁃二、选择题(共4小题,每小题4分,满分16分)13.C14.A15.A16.D三、解答题(共6小题,满分86分)17.解:cosሺtݔcosሺ‴ݔtsinTT㈱㈱ሺcos‴sinݔtsincostsinsinሺtݔ∴函数cosሺtݔcosሺ‴ݔtsin的值域是‴⸶䁃,TT最小正周期是;18.解:连接,由余弦定理得t㈱‴㈱㈱晦.于是,㈱晦试卷第4页,总8页 sinsin㈱∵,㈱晦∴sin,晦∵⸴∴T㈱∴乙船应朝北偏东晦㈱方向沿直线前往处救援.19.解:(1)在四棱锥‴中,由平面,得是与平面所成的角,.在中sin㈱,由,于是,tan,而底面菱形的面积为.㈱∴四棱锥‴的体积.(2)解法一:以为坐标原点,射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系.在中,于是,点、、、的坐标分别是ሺ⸶‴⸶ݔ,ሺ㈱⸶⸶ݔ⸶⸶ሺ,ݔ⸶⸶㈱‴ሺ,ݔ.㈱是的中点,则ሺ⸶⸶ݔ⸶⸶ሺ,ݔ⸶⸶ሺ是于ݔ.设与的夹角为,有cos,arccos,TT∴异面直线与所成角的大小是arccos;T解法二:取的中点,连接、.由是的中点,得,试卷第5页,总8页 ∴是异面直线与所成角(或它的补角),在中cos,于是,在等腰中,,则.在正和正中,,㈱TcosT∴异面直线与所成角的大小是arccos.T20.ሺ㈱ݔ⸶ሺ、ݔ㈱⸶㈱ሺ点于线物抛交线直的ݔ⸶ሺ点过设:明证ݔ.当直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时,直线与抛物线相交于点ሺ⸶ݔ‴⸶ሺ、ݔ.∴;当直线的斜率存在时,设直线的方程为䁞ሺ‴ݔ,其中䁞,由得䁞‴‴䁞㈱‴䁞ሺ‴ݔ㈱㈱又∵㈱㈱,,㈱∴㈱t㈱ሺ㈱ݔt㈱,T综上所述,命题“如果直线过点ሺ⸶ݔ,那么”是真命题.ሺݔ解:逆命题是:设直线交抛物线于、两点,如果,那么该直线过点ሺ⸶ݔ.该命题是假命题.㈱例如:取抛物线上的点ሺ⸶ݔ㈱⸶ሺ,ݔ,此时,直线的方程为:ሺt㈱ݔ⸶ሺ而,ݔ不在直线上;说明:由抛物线上的点ሺ㈱⸶㈱ݔ⸶ሺ、ݔ满足,可得㈱‴,或㈱,如果㈱‴,可证得直线过点ሺ⸶ݔ;如果㈱,可证得直线过点ሺ‴㈱⸶ݔ⸶ሺ点过不而,ݔ.试卷第6页,总8页 21.解:由题意:(1)证明:当㈱时,,则;㈱当䁞‴㈱时,t㈱ሺ‴㈱ݔ㈱‴ሺ,tݔ‴㈱t,∴t㈱‴ሺ‴㈱ݔ,t㈱∴,∴数列是等比数列.(2)解:由(1)得‴㈱,ሺ‴㈱ݔ㈱‴ሺݔ㈱ttt(‴㈱)t∴㈱䁞‴㈱,㈱ሺ‴㈱ݔ‴㈱香t䁃t㈱ሺ㈱⸶⸶䁞ݔ.䁞‴㈱䁞‴㈱㈱(3)设香,解得䁞t,又是正整数,于是当䁞时,香⸴;当䁞t㈱时,香䁔.原式ሺ‴香㈱ݔ‴䁞香ሺttݔ‴㈱t䁞香ሺtݔ䁞香‴ሺttݔ香‴ሺtݔሺ香䁞t㈱tt香䁞ݔ‴ሺ香㈱tt香䁞ݔ㈱㈱ሺ䁞t䁞‴㈱ݔ䁞ሺt䁞‴㈱ݔ䁞䁞t䁞䁃‴t䁞䁃.䁞‴㈱䁞‴㈱䁞‴㈱䁞当T,得䁞‴䁞tT,T‴䁞Tt,又䁞,䁞‴㈱∴当䁞,,T,,,晦时,原不等式成立.香22.解:ሺ㈱ݔ函数tሺ䁔ݔ的最小值是香,则香,∴香log.ሺݔ‴㈱ሺݔ㈱‴ሺ‴㈱‴t㈱‴,⸴㈱⸴设ݔ.㈱㈱TT当⸴㈱⸴时,䁔㈱,函数t在,tݔ上是增函数;TT当⸴㈱⸴⸴时⸴㈱,函数t在ሺ⸶䁃上是减函数.又t是偶函数,于是,TT该函数在ሺ‴⸶‴䁃上是减函数,在‴,ݔ上是增函数;ሺݔ可以把函数推广为t(常数䁔),其中是正整数.当是奇数时,函数t在ሺ⸶䁃上是减函数,在,tݔ上是增函数,在ሺ‴⸶‴䁃上是增函数,在‴,ݔ上是减函数;当是偶数时,函数t在ሺ⸶䁃上是减函数,在,tݔ上是增函数,在ሺ‴⸶‴䁃上是减函数,在‴,ݔ上是增函数;㈱㈱ሺݔtሺtݔtሺݔ试卷第7页,总8页 ሺt㈱ݔ㈱tሺttݔ㈱t‴ሺttݔ㈱t‴ሺ㈱tݔ,‴‴㈱因此ሺݔ在⸶㈱䁃上是减函数,在㈱⸶䁃上是增函数.㈱所以,当或时,ሺݔሺtݔሺ值大最得取ݔ;T当㈱时ሺݔ取得最小值t㈱;试卷第8页,总8页
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