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2005年上海市高考数学试卷(理科)
ID:45313 2021-10-23 6页1111 43.69 KB
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2005年上海市高考数学试卷(理科)一、填空题(共12小题,每小题4分,满分48分))1.函数f(x)=log4(x+1)的反函数f-1(x)=________.2.方程4x+2x-2=0的解是________.3.直角坐标平面xOy中,若定点A(1, 2)与动点P(x, y)满足OP→⋅OA→=4,则点P的轨迹方程是________.4.在(x-a)10的展开式中,x7的系数是15,则实数a=________.5.若双曲线的渐近线方程为y=±3x,它的一个焦点是(10,0),则双曲线的方程是________.6.将参数方程x=1+2cosθ,y=2sinθ, (θ为参数)化成普通方程为________.7.计算:limn→∞3n+13n+1+2n=________.8.某班有50名学生,其中15人选修A课程,另外35人选修B课程,从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的概率是________.(结果用分数表示)9.在△ABC中,若A=120∘,AB=5,BC=7,则△ABC的面积是________.10.函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0, 2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则实数k的取值范围是________.11.有两个相同的直三棱柱,高为2a,底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a>0),用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,全面积最小的是一个四棱柱,则a的取值范围是________.12.用n个不同的实数a1,a2,…,an可得到n!个不同的排列,每个排列为一行写成一个n!行的数阵.对第i行ai1,ai2,…,ain,记bi=-ai1+2ai2-3ai3+...+(-1)nnain(i=1, 2, 3,…,n!).例如:用1,2,3可得数阵如下,由于此数阵中每一列各数之和都是12,所以,b1+b2+...+b6=-12+2×12-3×12=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成的数阵中,b1+b2+...+b120=________.二、选择题(共4小题,每小题4分,满分16分))13.若函数f(x)=12x+1,则该函数在(-∞, +∞)上是()试卷第5页,总6页 A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值14.已知集合M={x||x-1|≤2,x∈R},P={x|5x+1≥1,x∈Z},则M∩P等于()A.{x|00B.b>0且c<0C.b<0且c=0D.b≥0且c=0三、解答题(共6小题,满分86分))17.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,底面ABCD是直角梯形,∠A=90∘,AB // CD,AB=4,AD=2,DC=1,求异面直线BC1与DC所成的角的大小.(结果用反三角函数表示)18.在复数范围内,求方程|z|2+(z+z)i=1-i(i为虚数单位)的解.19.已知点A,B分别是椭圆x236+y220=1的左、右顶点,点F是椭圆的右焦点.点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.(1)求点P的坐标;(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,且M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点Q到点M的距离d的最小值.20.假设某市2004年新建住房面积400万平方米,其中有250万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%,另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米,那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价层的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?21.对定义域是Df.Dg的函数y=f(x).y=g(x),规定:函数h(x)=f(x)g(x),x∈Dfx∈Dgf(x),x∈Dfx∉Dgg(x),x∉Dfx∈Dg .(1)若函数f(x)=1x-1,g(x)=x2,写出函数h(x)的解析式;试卷第5页,总6页 (2)求问题(1)中函数h(x)的值域;(3)若g(x)=f(x+α),其中α是常数,且α∈[0, π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.22.在直角坐标平面中,已知点P1(1, 2),P2(2, 22),P3(3, 23),…,Pn(n, 2n),其中n是正整数.对平面上任一点A0,记A1为A0关于点P1的对称点,A2为A1关于点P2的对称点,…,An为An-1关于点Pn的对称点.(1)求向量A0A2→的坐标;(2)当点A0在曲线C上移动时,点A2的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3位周期的周期函数,且当x∈(0, 3]时,f(x)=lgx.求以曲线C为图象的函数在(1, 4]上的解析式;(3)对任意偶数n,用n表示向量A0An→的坐标.试卷第5页,总6页 参考答案与试题解析2005年上海市高考数学试卷(理科)一、填空题(共12小题,每小题4分,满分48分)1.4x-12.03.x+2y-4=04.-125.x2-y29=16.(x-1)2+y2=47.138.379.153410.(1, 3)11.00,只能x=32,于是y=532.∴点P的坐标是(32, 532).(2)直线AP的方程是 y-0532-0=x+632+6,即x-3y+6=0. 设点M(m, 0),则M到直线AP的距离是|m+6|2,于是|m+6|2=|6-m|.又-6≤m≤6,解得m=2,故点M(2, 0).设椭圆上的点Q(x1, y1)到点M的距离为d,有d2=(x1-2)2+y12=x12-4x1+4+20-59x12=49(x1-92)2+15.∵-6≤x1≤6,∴当x=92时,d取得最小值为15.20.解:(1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,其中a1=250,d=50,则Sn=250n+n(n-1)2×50=25n2+225n,令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数,∴n≥10,∴到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则bn=400⋅(1.08)n-1,由题意可知an>0.85bn,有250+(n-1)⋅50>400⋅(1.08)n-1⋅0.85,由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6,到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.试卷第5页,总6页 21.h(x)=x2x-1,x∈(-∞,1)∪(1,+∞)1,x=1 .当x≠1时,h(x)=x2x-1=x-1+1x-1+2,若x>1时,则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立若x<1时,则h(x)≤0,其中等号当x=0时成立∴函数h(x)的值域是(-∞, 0]∪{1}∪[4, +∞)令f(x)=sin2x+cos2x,α=π4则g(x)=f(x+α)=sin2(x+π4)+cos2(x+π4)=cos2x-sin2x,于是h(x)=f(x)⋅f(x+α)=(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)=cos4x.另解令f(x)=1+2sin2x,α=π2,g(x)=f(x+α)=1+2sin2(x+π)=1-2sin2x,于是h(x)=f(x)⋅f(x+α)=(1+2sin2x)(1-2sin2x)=cos4x.22.解:(1)设点A0(x, y),A1为A0关于点P1的对称点,A1的坐标为(2-x, 4-y),A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x, 4+y),∴A0A2→={2, 4}.(2)∵A0A2→={2, 4},∴f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.因此,设曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(-2, 1]时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当x∈(1, 4]时,g(x)=lg(x-1)-4.(3)A0An→=A0A2→+A2A4→+...+An-2An→,由于A2k-2A2k→=2P2k-1P2k→,得A0An→=2(P1P2→+P3P4→+...+Pn-1Pn→)=2({1, 2}+{1, 23}+...+{1, 2n-1})=2{n2, 2(2n-1)3}={n, 4(2n-1)3}试卷第5页,总6页
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