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2015年北京市高考数学试卷(理科)
ID:44778 2021-10-19 9页1111 112.92 KB
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2015年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题(每小题5分,共40分))1.复数ݣꔀޭꔀA.ݣ.Dݣ.Cݣ.Bݣ2.若,满足,则=ݣ的最大值为()A.B.C.D.ݣݣ3.执行如图所示的程序框图,输出的结果为()A.ݣݣꔀB.䁡ꔀC.䁡䁡ꔀD.㌳ꔀ4.设,是两个不同的平面,是直线且,“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件试卷第1页,总9页,5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()A.ݣݣ.C䁡.BݣD.6.设是等差数列,下列结论中正确的是()A.若ݣ则,ݣB.若,则ݣC.若ݣ则,ݣD.若,则ݣꔀݣꔀ7.如图,函数ꔀ的图象为折线Ro,则不等式ꔀlogݣꔀ的解集是()A.B.C.D.ݣ8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况,下列叙述中正确的是ꔀA.消耗升汽油,乙车最多可行驶千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以㌳千米/小时的速度行驶小时,消耗升汽油D.某城市机动车最高限速㌳千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油试卷第2页,总9页,二、填空题(每小题5分,共30分))9.在ݣꔀ的展开式中,的系数为________(用数字作答)ݣ10.已知双曲线ݣ=ꔀ的一条渐近线为=,则=________.ݣ11.在极坐标系中,点ݣꔀ到直线cossinꔀޭ䁞的距离为________.sinݣ12.在oR中,ޭ䁡,ޭ,ޭ䁞,则ޭ________.sinR13.在oR中,点,满足ޭݣR,oޭR,若ޭoR,则=________________,=________.ݣ,14.设函数ꔀޭ䁡ꔀݣꔀ①若ޭ,则ꔀ的最小值为________;②若ꔀ恰有ݣ个零点,则实数的取值范围是________.三、解答题(共6小题,共80分))ݣ15.已知函数ꔀޭݣsincosݣsin.ݣݣݣꔀ求ꔀ的最小正周期;ݣꔀ求ꔀ在区间上的最小值.16.,o两组各有位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:组:,,ݣ,,䁡,,䁞o组;ݣ,,,䁞,,䁡,假设所有病人的康复时间相互独立,从,o两组随机各选人,组选出的人记为甲,o组选出的人记为乙.Ⅰꔀ求甲的康复时间不少于䁡天的概率;Ⅱꔀ如果=ݣ,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;Ⅲꔀ当为何值时,,o两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)17.如图,在四棱锥䁞Ro中,䁞为等边三角形,平面䁞平面䁞Ro,䁞oR,oRޭ䁡,䁞ޭݣ,䁞oRޭRoޭ䁞,为䁞的中点.(1)求证:o䁞.(2)求二面角䁞o的余弦值;试卷第3页,总9页,(3)若o䁞平面R,求的值.18.已知函数ꔀޭln,‸ꔀ求曲线ޭꔀ在点(ꔀ)处的切线方程;‸‸ꔀ求证,当ꔀ时,ꔀݣꔀ;‸‸‸ꔀ设实数使得ꔀꔀ对ꔀ恒成立,求的最大值.ݣݣݣ19.已知椭圆Rޭꔀ的离心率为,点ꔀ和点ꔀꔀ都ݣݣݣ在椭圆R上,直线交轴于点.ꔀ求椭圆R的方程,并求点的坐标(用,表示);ݣꔀ设为原点,点o与点关于轴对称,直线o交轴于点,问:轴上是否存在点,使得ޭ?若存在,求点的坐标,若不存在,说明理由.ݣ㌳20.已知数列满足:,䁞,且ޭݣ=䁞ݣ,…ꔀ,㌳记集合=.Ⅰꔀ若=䁞,写出集合的所有元素;Ⅱꔀ如集合存在一个元素是的倍数,证明:的所有元素都是的倍数;Ⅲꔀ求集合的元素个数的最大值.试卷第4页,总9页,参考答案与试题解析2015年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题(每小题5分,共40分)1.A2.D3.B4.B5.C6.C7.C8.D二、填空题(每小题5分,共30分)9.䁡10.11.12.13.,ݣ䁞14.,或ݣݣ三、解答题(共6小题,共80分)ݣ15.解:ꔀꔀޭݣsincosݣsinݣݣݣݣݣޭsincosꔀݣݣݣޭsincoscossin䁡䁡ݣݣޭsinꔀ,䁡ݣ则ꔀ的最小正周期为ݣ.ݣꔀ由,可得,䁡䁡䁡ݣ即有sinꔀ,䁡ݣ则当ޭ时,sinꔀ取得最小值,䁡䁡ݣ则有ꔀ在区间上的最小值为.ݣ试卷第5页,总9页,16.设事件为“甲是组的第个人”,事件o为“乙是o组的第个人”,由题意可知ꔀ=oꔀޭ,=,ݣ,••,(1)事件“甲的康复时间不少于䁡天”等价于“甲是组的第或第䁞或第个人”∴甲的康复时间不少于䁡天的概率䁞ꔀ=ꔀ䁞ꔀꔀޭ;(2)设事件R为“甲的康复时间比乙的康复时间长”,则R=䁡oo䁞oooݣ䁞oݣoݣo䁞o䁞o䁞,∴Rꔀ=䁡oꔀoꔀ䁞oꔀoꔀoݣꔀ䁞oݣꔀoݣꔀoꔀ䁞o䁞ꔀo䁞ꔀ=䁡oꔀ=䁡ꔀoꔀޭ䁡Ⅲꔀ当为或㌳时,,o两组病人康复时间的方差相等.17.证明:(1)∵䁞为等边三角形,为䁞的中点,∴䁞,∵平面䁞平面䁞Ro,平面䁞,∴平面䁞Ro∴o䁞.(2)取oR的中点,连接,∵䁞Ro是等腰梯形,∴䁞,由(1)知平面䁞Ro,∵平面䁞Ro,∴,建立如图的空间坐标系,则䁞ޭ,oޭݣޭ䁞nat〴oޭ〴䁞,ݣޭ〴o,ޭ〴,ݣꔀ,则䁞ꔀ,ꔀ,oݣݣꔀ,ꔀ,䁞ޭꔀ,o䁞ޭݣݣꔀ,ꔀ,设平面䁞o的法向量为ޭꔀ,ޭ则o䁞ޭ,即,ݣꔀݣꔀޭ令ޭ,则ޭ,ޭ,试卷第6页,总9页,即ޭꔀ,平面䁞的法向量为ޭꔀ,则cos,ޭޭ即二面角䁞o的余弦值为;(3)若o䁞平面R,则o䁞R,即o䁞Rޭ,∵o䁞ޭݣݣޭR,ꔀ,ꔀݣݣꔀ,ꔀ,∴o䁞Rޭݣꔀݣꔀݣݣޭ,䁡解得ޭ.18.ꔀ因为ꔀޭlnꔀlnꔀ所以䳌ꔀޭ,䳌ꔀޭݣ又因为ꔀޭ,所以曲线ޭꔀ在点(ꔀ)处的切线方程为ޭݣ.ݣꔀޭꔀ令:明证ꔀݣꔀ,则䳌䳌ݣݣ䁡ꔀޭꔀݣꔀޭ,ݣ因为䳌ꔀꔀ,所以ꔀ在区间ꔀ上单调递增.所以ꔀꔀޭ,ꔀ,即当ꔀ时,ꔀݣꔀ.ꔀ由ݣ当,知ꔀݣ时,ꔀꔀ对ꔀ恒成立.当ݣ时,令ꔀޭꔀꔀ,则䳌䳌ݣ䁡ݣꔀꔀޭꔀꔀޭ,ݣ䁡ݣ䁡䳌ݣ所以当时,ꔀ,因此ꔀ在区间ꔀ上单调递减.䁡ݣ当时,ꔀꔀޭ,即ꔀꔀ.试卷第7页,总9页,所以当ݣ时,ꔀꔀ并非对ꔀ恒成立.综上所知,的最大值为ݣ.ޭ,ݣ19.解:ꔀ由题意得出ޭ,ݣݣݣޭݣ,解得:ޭݣ,ޭ,ޭ.ݣ∴ݣޭ,ݣ∵ꔀ和点ꔀ,.∴的方程为:ޭ,ޭ时,ޭ.∴ꔀ.ݣꔀ∵点o与点关于轴对称,点ꔀꔀ,∴点oꔀꔀ,∵直线o交轴于点,∴ꔀ,∵存在点,使得ޭ,ꔀ,∴tanޭtan,ݣݣݣ∴ޭ,即ޭ,ݣޭ,ݣݣޭޭݣ,ݣ∴ޭݣ,故轴上存在点,使得ޭ,ݣꔀ或ݣꔀ.ݣ㌳20.(1)若=䁞,由于ޭݣ=䁞ݣ,…ꔀ,=.㌳故集合的所有元素为䁞,ݣ,ݣ䁡;(2)因为集合存在一个元素是的倍数,所以不妨设是的倍数,由ޭݣ㌳=ݣ,…ꔀ,可归纳证明对任意,是的倍数.ݣ䁞㌳试卷第8页,总9页,如果=,的所有元素都是的倍数;如果,因为=ݣ以所,䁞ݣ=或,ݣ是的倍数;于是是的倍数;类似可得,ݣ,…,都是的倍数;从而对任意,是的倍数;综上,若集合存在一个元素是的倍数,则集合的所有元素都是的倍数ݣ㌳Ⅲꔀ对䁞,ޭ=ݣ,…ꔀ,可归纳证明对任意,ݣ䁞㌳䁞=ݣ,…ꔀݣ㌳因为是正整数,ݣ是ݣ以所,ޭݣ的倍数.ݣ䁞㌳从而当ݣ是,时ݣ的倍数.如果是的倍数,由Ⅱꔀ知,对所有正整数,是的倍数.因此当时,ݣݣ䁡䁞,这时的元素个数不超过.如果不是的倍数,由Ⅱꔀ知,对所有正整数,不是的倍数.因此当时,䁡㌳䁞ݣ㌳ݣݣ,这时的元素个数不超过㌳.当=时,=ݣ㌳ݣݣ䁞㌳䁡ݣ,有㌳个元素.综上可知,集合的元素个数的最大值为㌳.试卷第9页,总9页
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