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2007年北京市高考数学试卷(理科)
ID:44762 2021-10-19 9页1111 74.63 KB
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2007年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分))1.已知costan,那么角是A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角2.函数的反函数的定义域为()A.䁢B.晦䁢C.䁢晦D.䁢3.平面平面的一个充分条件是()A.存在一条直线,,B.存在一条直线,,C.存在两条平行直线,,,,,D.存在两条异面直线,,,,,4.已知是䳌䁨所在平面内一点,为䳌䁨边中点,且䳌䁨,那么()A.B.C.D.5.记者要为名志愿者和他们帮助的位老人拍照,要求排成一排,位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有A.晦种B.晦种C.种D.种ሀ6.若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则的取值范围是()A.B.晦C.晦或D.晦7.如果正数,,,满足,那么()A.且等号成立时,,,的取值唯一B.且等号成立时,,,的取值唯一C.且等号成立时,,,的取值不唯一D.且等号成立时,,,的取值不唯一8.对于函数①lgȁሀȁ晦,②ሀ,③cos,判断如下三个命题的真假:命题甲:是偶函数;命题乙:在ሀ䁢上是减函数,在䁢上是增函数;命题丙:ሀ在ሀ䁢上是增函数.能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是()A.①③B.①②C.③D.②试卷第1页,总9页,二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分))9.________.晦10.若数列的前项和ሀ晦晦䁢䁢,…,则此数列的通项公式为________;数列中数值最小的项是第________项.晦11.在䳌䁨中,若tan,䁨晦,䳌䁨,则䳌________.12.已知集合ȁȁሀȁ晦,䳌ȁሀ.若䳌,则实数的取值范围是________.13.年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为晦,大正方形的面积为,直角三角形中较小的锐角为,那么cos的值等于________.14.已知函数,分别由下表给出晦晦晦晦晦则晦的值为________;满足ݔ的的值是________.三、解答题(共6小题,满分80分))15.数列中,晦,晦(是常数,晦,,,…),且晦,,成公比不为晦的等比数列.(1)求的值;(2)求的通项公式.16.如图,在䳌中,䳌,斜边䳌.䁨可以通过䳌晦以直线为轴旋转得到,且二面角䳌ሀሀ䁨是直二面角.动点在斜边䳌上.试卷第2页,总9页,(1)求证:平面䁨平面䳌;(2)当为䳌的中点时,求异面直线与䁨所成角的余弦值大小;(3)求䁨与平面䳌所成角最大时的正切值大小.17.如图,矩形䳌䁨的两条对角线相交于点䁢,䳌边所在直线的方程为ሀሀ晦点ሀ晦䁢晦在边所在直线上.(1)求边所在直线的方程;(2)求矩形䳌䁨外接圆的方程;(3)若动圆过点ሀ䁢,且与矩形䳌䁨的外接圆外切,求动圆的圆心的轨迹方程.18.某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动).该校合唱团共有晦名学生,他们参加活动的次数统计如图所示.(1)求合唱团学生参加活动的人均次数;(2)从合唱团中任意选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率.(3)从合唱团中任选两名学生,用表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量的分布列及数学期望.19.如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为,短半轴长为,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底䳌是半椭圆的短轴,上底䁨的端点在椭圆上,记䁨,梯形面积为.(1)求面积以为自变量的函数式,并写出其定义域;(2)求面积的最大值.20.已知集合=晦䁢䁢䁢,其中=晦䁢,…,,由中的元素构成两个相应的集合:=䁢ȁ䁢䁢,=䁢ȁ䁢䁢ሀ.其中䁢是有序数对,集合和中的元素个数分别为和.若对于任意的,总有ሀ,则称集合具有性质.试卷第3页,总9页,Ⅰ检验集合䁢晦䁢䁢与ሀ晦䁢䁢是否具有性质并对其中具有性质的集合,写出相应的集合和;ሀ晦Ⅱ对任何具有性质的集合,证明:;Ⅲ判断和的大小关系,并证明你的结论.试卷第4页,总9页,参考答案与试题解析2007年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)1.C2.B3.证明:对于A,一条直线与两个平面都平行,两个平面不一定平行故A不对对于B,一个平面中的一条直线平行于另一个平面,两个平面不一定平行,故B不对对于C,两个平面中的两条直线平行,不能保证两个平面平行,故C不对对于D,两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面,可以保证两个平面平行,故D正确4.A5.B6.C7.A8.D二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)9.ሀ10.ሀ晦晦,11.晦12.䁢13.14.晦,三、解答题(共6小题,满分80分)15.解:(1)晦,,,因为晦,,成等比数列,所以,解得或.当时,晦,不符合题意舍去,故.(2)当时,由于ሀ晦,ሀ,ሀሀ晦ሀ晦,ሀ晦所以ሀ晦晦ሀ晦.又,,故ሀ晦ሀ䁢,.晦当晦时,上式也成立,所以ሀ晦䁢,16.解:(1)由题意,䁨,䳌,∴䳌䁨是二面角䳌ሀሀ䁨是直二面角,又∵二面角䳌ሀሀ䁨是直二面角,∴䁨䳌,又∵䳌,试卷第5页,总9页,∴䁨平面䳌,又䁨平面䁨,∴平面䁨平面䳌.(2)解法一:作䳌,垂足为,连接䁨(如图),则,∴䁨是异面直线与䁨所成的角.晦在䁨中,䁨䳌,䳌晦,∴䁨䁨.晦又.∴䁨䁨晦∴在䁨中,cos䁨.䁨晦∴异面直线与䁨所成角的余弦值大小为.解法二:建立空间直角坐标系ሀ,如图,则䁢䁢,䁢䁢,䁨䁢䁢,䁢晦䁢,∴䁢䁢,䁨ሀ䁢晦䁢,晦晦∴cos,䁨ݔȁȁȁ䁨ȁ.晦∴异面直线与䁨所成角的余弦值为.(3)由(1)知,䁨平面䳌,∴䁨是䁨与平面䳌所成的角,试卷第6页,总9页,䁨且tan䁨.当最小时,䁨最大,这时,䳌,垂足为,䳌,tan䁨,䳌∴䁨与平面䳌所成角的最大时的正切值为.17.解:(1)因为䳌边所在直线的方程为ሀሀ晦,且与䳌垂直,所以直线的斜率为ሀ又因为点ሀ晦䁢晦在直线上,所以边所在直线的方程为ሀ晦ሀ晦..ሀሀ晦(2)由解得点的坐标为䁢ሀ,因为矩形䳌䁨两条对角线的交点为䁢.所以为矩形䳌䁨外接圆的圆心.又ȁȁሀ.从而矩形䳌䁨外接圆的方程为ሀ.(3)因为动圆过点,所以ȁȁ是该圆的半径,又因为动圆与圆外切,所以ȁȁȁȁ,即ȁȁሀȁȁ.故点的轨迹是以,为焦点,实轴长为的双曲线的左支.因为实半轴长,半焦距.所以虚半轴长ሀ.从而动圆的圆心的轨迹方程为ሀ晦ሀ.18.该合唱团学生参加活动的人均次数为晦晦.晦晦从合唱团中任选两名学生,他们参加活动次数恰好相等的概率为晦晦.晦从合唱团中任选两名学生,记“这两人中一人参加晦次活动,另一人参加次活动”为事件,“这两人中一人参加次活动,另一人参加次活动”为事件䳌,“这两人中一人参加晦次活动,另一人参加次活动”为事件䁨.易知䁨晦晦䁨晦䁨晦䁨晦=晦=䳌;䁨䁨晦晦䁨晦晦䁨晦==䁨;䁨晦的分布列:晦的数学期望:=晦.19.解:(1)依题意,以䳌的中点为原点建立直角坐标系ሀ(如图),则点䁨的横坐标为,试卷第7页,总9页,点䁨的纵坐标满足方程晦,解得ሀ晦ሀሀ,其定义域为ȁ.(2)记ሀ,,则̵ሀ.晦令̵,得.因为当时,̵ݔ;当时,晦̵,所以是的最大值.晦晦因此,当时,也取得最大值,最大值为.即梯形面积的最大值为.20.(I)集合䁢晦䁢䁢不具有性质.集合ሀ晦䁢䁢具有性质,其相应的集合和是=ሀ晦䁢䁢䁢ሀ晦,=䁢ሀ晦䁢䁢.‸‸证明:首先,由中元素构成的有序数对䁢共有个.因为,所以䁢=晦䁢䁢;又因为当时,ሀ时,ሀ,所以当䁢时,䁢䁢=晦䁢䁢.晦ሀ晦从而,集合中元素的个数最多为ሀ,ሀ晦即.‸‸‸=,证明如下:(1)对于䁢,根据定义,,,且,从而䁢.如果䁢与䁢是的不同元素,那么=与=中至少有一个不成立,从而=与=中也至少有一个不成立.故䁢与䁢也是的不同元素.可见,中元素的个数不多于中元素的个数,即,(2)对于䁢,根据定义,,,且ሀ,从而ሀ䁢.如果䁢与䁢是的不同元素,试卷第8页,总9页,那么=与=中至少有一个不成立,从而ሀ=ሀ与=中也至少有一个不成立,故ሀ䁢与ሀ䁢也是的不同元素.可见,中元素的个数不多于中元素的个数,即,由(1)(2)可知,=.试卷第9页,总9页
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