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2006年北京市高考数学试卷(理科)
ID:44760 2021-10-19 6页1111 48.14 KB
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2006年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分))1.在复平面内,复数1+ii对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若a→与b→-c→都是非零向量,则“a→⋅b→=a→⋅c→”是“a→⊥(b→-c→)”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有()A.36个B.24个C.18个D.6个4.平面α的斜线AB交α于点B,过定点A的动直线l与AB垂直,且交α于点C,则动点C的轨迹是()A.一条直线B.一个圆C.一个椭圆D.双曲线的一支5.已知f(x)=(3a-1)x+4a,x≤1,logax,x>1是(-∞, +∞)上的减函数,那么a的取值范围是(     )A.(0, 1)B.(0,13)C.[17,13)D.[17,1)6.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1, 2)上的任意x1,x2(x1≠x2),|f(x1)-f(x2)|<|x2-x1|恒成立”的只有()A.f(x)=1xB.f(x)=|x|C.f(x)=2xD.f(x)=x27.设f(n)=2+24+27+210+...+23n+10(n∈N),则f(n)等于()A.27(8n-1)B.27(8n+1-1)C.27(8n+3-1)D.27(8n+4-1)8.如图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口A,B,C的机动车辆数如图所示,图中x1,x2,x3分别表示该时段单位时间通过路段AB,BC,CA的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则()A.x1>x2>x3B.x1>x3>x2C.x2>x3>x1D.x3>x2>x1试卷第5页,总6页, 二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分))9.limx→-1x2+3x+2x2-1的值等于________.10.在(x-2x)7的展开式中,x2的系数为________(用数字作答).11.若三点A(2, 2),B(a, 0),C(0, b)(ab≠0)共线,则1a+1b的值为________.12.在△ABC中,若sinA:sinB:sinC=5:7:8,则∠B的大小是________.13.已知点P(x, y)的坐标满足条件x+y≤4y≥xx≥1,点O为坐标原点,那么|PO|的最小值等于________,最大值等于________.14.已知A,B,C三点在球心为O,半径为R的球面上,AC⊥BC,且AB=R,那么A,B两点的球面距离为________,球心到平面ABC的距离为________.三、解答题(共6小题,满分80分))15.已知函数f(x)=1-2sin(2x-π4)cosx,(I)求f(x)的定义域;(II)设α是第四象限的角,且tanα=-43,求f(α)的值.16.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5,其导函数y=f'(x)的图象经过点(1, 0),(2, 0),如图:(1)求x0的值;(2)求a,b,c的值.17.如图,在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,点E是PD的中点.(1)求证:PB // 平面AEC;(2)求二面角E-AC-B的大小.试卷第5页,总6页, 18.某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过;方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a,b,c,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.(I)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率;(II)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由)19.已知点M(-2, 0),N(2, 0),动点P满足条件|PM|-|PN|=22.记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求OA→⋅OB→的最小值.20.在数列{an}中,若a1,a2是正整数,且an=|an-1-an-2|,n=3,4,5,…,则称{an}为“绝对差数列”.(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项);(2)若“绝对差数列”{an}中,a20=3,a21=0,数列{bn}满足bn=an+an+1+an+2,n=1,2,3,…,分别判断当n→∞时,an与bn的极限是否存在,如果存在,求出其极限值;(3)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.试卷第5页,总6页, 参考答案与试题解析2006年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)1.D2.C3.B4.A5.C6.A7.D8.C二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)9.-1210.-1411.1212.π313.2,1014.π3R,32R三、解答题(共6小题,满分80分)15.(1)解:∵依题意,有cosx≠0,∴解得x≠kπ+π2,∴f(x)的定义域为{x|x∈R, 且x≠kπ+π2, k∈Z}.(2)解:∵f(x)=1-2sin(2x-π4)cosx=-2sinx+2cosx,∴f(α)=-2sinα+2cosα,∵α是第四象限的角,且tanα=-43,∴sinα=-45,cosα=35,∴f(α)=-2sinα+2cosα=145.16.解:(1)由图象可知,在(-∞, 1)上f'(x)>0,在(1, 2)上f'(x)<0.在(2, +∞)上f'(x)>0.故f(x)在(-∞, 1),(2, +∞)上递增,在(1, 2)上递减.因此f(x)在x=1处取得极大值,所以x0=1.试卷第5页,总6页, (2)f'(x)=3ax2+2bx+c,由f'(1)=0,f'(2)=0,f(1)=5,得3a+2b+c=012a+4b+c=0a+b+c=5解得a=2,b=-9,c=12.17.解:(1)由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AC又AB⊥AC,所以AC⊥平面PAB,所以AC⊥PB连BD交AC于点O,连EO,则EO是△PDB的中位线,∴EO // PB∴PB // 平面AEC(2)取AD的中点F,连EF,FO,则EF是△PAD的中位线,∴EF // PA又PA⊥平面ABCD,∴EF⊥平面ABCD同理FO是△ADC的中位线,∴FO // AB,FO⊥AC由三垂线定理可知∠EOF是二面角E-AC-D的平面角.又FO=12AB=12PA=EF∴∠EOF=45∘而二面角E-AC-B与二面角E-AC-D互补,故所求二面角E-AC-B的大小为135∘.18.解:设三门考试课程考试通过的事件分别为A,B,C,相应的概率为a,b,c(1)考试三门课程,至少有两门及格的事件可表示为ABC+ABC+ABC+ABC,设其概率为P1,则P1=ab(1-c)+a(1-b)c+(1-a)bc+abc=ab+ac+bc-2abc设在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格的概率为P2,则P2=13ab+13ac+13bc(2)P1-P2=(ab+ac+bc-2abc)-(13ab+13ac+13bc)=23ab+23ac+23bc-2abc=23(ab+ac+bc-3abc)=23〔ab(1-c)+ac(1-b)+bc(1-a)〕>0∴P1>P2即用方案一的概率大于用方案二的概率.19.解:(1)依题意,点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,所求方程为:x22-y22=1(x>0)(2)当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为x=x0,此时A(x0, x02-2),B(x0, -x02-2),OA→⋅OB→=2当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+b,代入双曲线方程x22-y22=1中,得:(1-k2)x2-2kbx-b2-2=01∘依题意可知方程1∘有两个不相等的正数根,设A(x1, y1),B(x2, y2),则△=4k2b2-4(1-k2)⋅(-b2-2)>0x1+x2=2kb1-k2>0x1x2=b2+2k2-1>0,解得|k|>1又OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=2k2+2k2-1=2+4k2-1>2综上可知OA→⋅OB→的最小值为试卷第5页,总6页, 2.20.解:(1)a1=3,a2=1,a3=2,a4=1,a5=1,a6=0,a7=1,a8=1,a9=0,a10=1.(答案不惟一)(2)因为在绝对差数列{an}中a20=3,a21=0.所以自第20项开始,该数列是a20=3,a21=0,a22=3,a22=3,a24=0,a25=3,a26=3,a27=o,即自第20项开始.每三个相邻的项周期地取值3,0,3.所以当n→∞时,an的极限不存在.当n≥20时,bn=an+an+1+an+2=6,所以limn→∞bn=6(3)证明:根据定义,数列{an}必在有限项后出现零项.证明如下:假设{an}中没有零项,由于an=|an-1-an-2|,所以对于任意的n,都有an≥1,从而当an-1>an-2时,an=an-1-an-2≤an-1-1(n≥3);当an-1a2n)a2n(a2n-10(n=1, 2, 3,,)矛盾.从而{an}必有零项.若第一次出现的零项为第n项,记an-1=A(A≠0),则自第n项开始,每三个相邻的项周期地取值0,A,A,即an+3k=0an+3k+1=A,k=0,1,2,3an+3k+2=A所以绝对差数列{an}中有无穷多个为零的项.试卷第5页,总6页
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