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2002年北京市春季高考数学试卷
ID:44747 2021-10-19 7页1111 38.47 KB
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2002年北京市春季高考数学试卷一、选择题(共15小题,每小题4分,满分60分))香䁕组1.不等式组的解集()͵䁕组A.香䁕䁕香൏B.组䁕䁕͵൏C.组䁕䁕香൏D.香䁕䁕͵൏2.已知三条直线、、,三个平面、、,下列四个命题中,正确的是()thA.B.tthththC.D.hth3.已知椭圆的焦点是香,,是椭圆上的一个动点,如果延长香到,使得,那么动点的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线4.如果䁟那么复数香䁃cos䁃sin的辐角的主值是()A.䁃B.䁃C.D.䁃5.若角满足条件sin䁕组,cossin䁕组,则在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.从名志愿者中选出人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作.若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作,则选派方案共有()A.组种B.组种C.香组种D.种7.在䳌䁨中,䳌=,䳌䁨=香㤵㐠,䳌䁨=香组,若将䳌䁨绕直线䳌䁨旋转一周,则所形成的旋转体的体积是()㐠͵A.B.C.D.8.圆䁃香与直线sin䁃香组的位置关系是()A.相交B.相切C.相离或相切D.不能确定9.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是()A.组B.䁃组C.组D.组10.在极坐标系中,如果一个圆的方程cos䁃sin,那么过圆心且与极轴平行的直线方程是()A.sin͵B.sin͵C.cosD.cos11.函数sin的单调增区间是()͵A.䁢䁟䁢䁃䁢B.䁢䁃䁟䁢䁃䁢C.䁢䁟䁢䁢D.䁢䁟䁢䁃䁢香͵12.对于二项式䁃的展开式,四位同学作出了四种判断:①存在,展开式中有常数项;②对任意,展开式中没有常数项;试卷第1页,总7页 ③对任意,展开式中没有的一次项;④存在,展开式中有的一次项.上述判断中正确的是()A.①与③B.②与③C.①与④D.②与④13.在香䁃的展开式中,͵的系数和常数项依次是()A.组,组B.香㐠,组C.组,香㐠D.香㐠,香㐠14.若一个等差数列前͵项的和为͵,最后͵项的和为香,且所有项的和为͵组,则这个数列有()A.香͵项B.香项C.香香项D.香组项15.用一张钢板制作一个容积为͵的无盖长方体水箱.可用的长方形钢板有四种不同的规格(长宽的尺寸如各选项所示,单位均为),若既要够用,又要所剩最少,则应选钢板的规格是()A.㐠B.㐠㤵㐠C.㤵香D.͵㐠二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分))͵16.若双曲线香的渐近线方程为,则双曲线的焦点坐标是________.香͵17.如果cos,䁟,那么cos䁃的值等于________.香͵18.已知,䳌,䁨三点在球心为,半径为香的球面上,且几何体䳌䁨为正四面体,那么点到平面䳌䁨的距离为________.19.对于任意两个复数香香䁃香,䁃(香、香、、),定义运算“”:香香䁃香.设非零复数香、在复平面内对应的点分别为香、,点为为坐标原点.若香组,则在香中,香的大小为________.三、解答题(共6小题,满分70分))䁨䁨20.在䳌䁨中,已知、䳌、䁨成等差数列,求䁃͵䁃的值.21.已知函是偶函数,而且在组䁟䁃上是增函数,判断在䁟组上是增函数还是减函数,并证明你的判断.22.在三棱锥䳌䁨中,如图,䳌䁨䁨䳌组,䁨,䳌䁨香͵,䳌.(1)证明:䁨t䳌䁨;(2)求侧面䳌䁨与底面䳌䁨所成的二面角大小;(3)(理)求异面直线䁨与䳌所成的角的大小(用反三角函数表示).(文)求三棱锥的体积䳌䁨.23.假设型进口车关税税率在组组年是香组组,在组组年是㐠,组组年型进口车每辆价格为万元(其中含͵万元关税税款).试卷第2页,总7页 (1)已知与型车性能相近的䳌型国产车,组组年每辆价格为万元,若型车的价格只受关税降低的影响,为了保证组组年䳌型车的价格不高于型车价格的组,䳌型车价格要逐年降低,问平均每年至少下降多少万元?(2)某人在组组年将͵͵万元存入银行,假设银行扣利息税后的年利率为香㤵(㐠年内不变),且每年按复利计算(上一年的利息计入第二年的本金),那么㐠年到期时这笔钱连本带息是否一定够买按(1)中所述降价后的䳌型车一辆?24.已知点的序列䁟组,,其中组,组,是线段的中͵点,是线段͵的中点,…,是线段香的中点,….(1)写出与香、之间的关系式͵;(2)设䁃香,计算,,͵,由此推测数列൏的通项公式,并加以证明.25.已知某椭圆的焦点是香䁟组、䁟组,过点,并垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为䳌,且香䳌䁃䳌香组.椭圆上不同的两点香䁟香、䁨䁟满足条件:、䳌、䁨成等差数列.(1)求该椭圆的方程;(2)求弦䁨中点的横坐标;(3)设弦䁨的垂直平分线的方程为䁢䁃,求的取值范围.试卷第3页,总7页 参考答案与试题解析2002年北京市春季高考数学试卷一、选择题(共15小题,每小题4分,满分60分)1.C2.D3.A4.B5.B6.B7.D8.C9.D10.A11.A12.C13.C14.A15.C二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)16.,组17.18.͵19.三、解答题(共6小题,满分70分)20.解:∵、䳌、䁨成等差数列,∴䁃䳌䁃䁨͵䳌香组∴䳌组∴䁃䁨香组䁨䁃䁨tan䁃tan∴tan䁨tan组͵香tantan䁨䁨∴䁃͵䁃͵21.解:在䁟组上是减函数证明:设香䁕䁕组则香组∵在组䁟䁃上是增函数∴香又是偶函数试卷第4页,总7页 ∴香香,∴香∴在䁟组上是减函数22.解:(1)证明:如图,∵䳌䁨组∴t底面䁨䳌又∵䳌䁨底面䁨䳌∴t䳌䁨又∵䁨䳌组∴䁨t䳌䁨又∵䁨∴䳌䁨t面䁨又∵䁨面䁨∴䁨t䳌䁨(2)解:∵䁨䳌组∴䁨t䳌䁨又∵䁨t䳌䁨∴䁨即为侧面䳌䁨与底面䳌䁨所成的二面角的平面角在䁨䳌中,䁨,䳌䁨香͵,∴䳌香在䳌中,䳌香,䳌,∴͵在䁨中,͵,䁨,∴䁨组,即侧面䳌䁨与底面䳌䁨所成的二面角的大小为组(3)(理)分别取䁨、䳌、䁨䳌、䁨的中点、、、,连接、、、、,则:䁨䳌,䁨,䳌,所以异面直线䁨与䳌所成的角的大小即为的大小.∵䁨䳌,䳌䁨t面䁨∴t面䁨香͵㐠∴t,又,͵,则香又∵,䁃香∴cos香香∴异面直线䁨与䳌所成的角的大小为arccos.香香(文)∵䁨䳌䁨䳌䁨香͵,͵,香͵∴䳌䁨香͵͵.͵͵23.解:(1)组组年型车价为͵䁃͵㐠组(万元)设䳌型车每年下降万元,组组,组组͵组组年䳌型车价格为:(公差为)香,,…,,∴组组∴㐠͵故每年至少下降万元(2)组组年到期时共有钱͵͵香䁃香㤵㐠͵͵香䁃组㤵组䁃组㤵组组͵䁃…͵㤵组͵(万元)故㐠年到期后这笔钱够买一辆降价后的䳌型车.试卷第5页,总7页 24.解:(1)根据题意,是线段香的中点,则有香䁃当͵时,.䁃香香香(2)香香,͵香,͵䁃香香香香͵͵͵͵,香香由此推测:.䁃香香证明如下:因为香组,且䁃香香香香香,香香所以.25.(1)解:由椭圆定义及条件知香䳌䁃䳌香组,得㐠.又,所以͵.故椭圆方程为䁃香.㐠(2)解:由点䳌䁟䳌在椭圆上,得䳌䳌.㐠㐠因为椭圆右准线方程为,离心率为.㐠㐠㐠根据椭圆定义,有香,䁨.㐠㐠㐠㐠由、䳌、䁨成等差数列,得香䁃.㐠㐠㐠由此得出香䁃.设弦䁨的中点为组䁟组,香䁃则组.(3)解:由香䁟香,䁨䁟在椭圆上,得䁃㐠㐠,④香香䁃㐠㐠.⑤由④-⑤得䁃㐠组,香香香䁃香䁃香即䁃㐠组香.香香䁃香䁃香香将组,组,䁢组代入上式,得香䁢香䁃㐠组组䁢组.䁢㐠由上式得䁢组(当䁢组时也成立).͵由点䁟组在弦䁨的垂直平分线上,得试卷第6页,总7页 组䁢䁃,㐠香所以组䁢组组组.由䁟组在线段䳌䳌段(䳌段与䳌关于轴对称)的内部,得䁕组䁕.㐠㐠香香所以䁕䁕.㐠㐠试卷第7页,总7页
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