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2001年北京市高考数学试卷(理)
ID:44746 2021-10-19 7页1111 44.85 KB
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2001年北京市高考数学试卷(理)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分))1.集合M={1, 2, 3, 4, 5}的子集个数是()A.32B.31C.16D.152.函数f(x)=ax(a>0且a≠1),对于任意实数x、y都有(    )A.f(xy)=f(x)f(y)B.f(xy)=f(x)+f(y)C.f(x+y)=f(x)f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)3.limn→∞C2nnC2n+2n+1=()A.0B.2C.12D.144.函数y=-1-x(x≤1)的反函数是()A.y=x2-1(-1≤x≤0)B.y=x2-1(0≤x≤1)C.y=1-x2(x≤0)D.y=1-x2(0≤x≤1)5.极坐标系中,圆ρ=4cosθ+3sinθ的圆心的极坐标是(    )A.(52,arcsin35)B.(5,arcsin45)C.(5,arcsin35)D.(52,arcsin45)6.设动点P在直线x=1上,O为坐标原点.以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ,则动点Q的轨迹是()A.圆B.两条平行直线C.抛物线D.双曲线7.已知f(x6)=log2x,那么f(8)等于(    )A.43B.8C.18D.128.若A、B是锐角△ABC的两个内角,则点P(cosB-sinA, sinB-cosA)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是(    )A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘10.若b为实数,且a+b=2,则3a+3b的最小值为()A.18B.6C.23D.24311.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60∘角;④DM与BN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是试卷第7页,总7页, (    )A.①②③B.②④C.③④D.②③④12.根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似的满足关系式Sn=n90(21n-n2-5)(n=1, 2,3,⋯,12),按此预测,在本年度内,需求量超过1.5万件的月份是()A.5,6月B.6,7月C.7,8月D.8,9月二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分))13.已知球内接正方体的表面积为S,那么球的体积等于________.14.椭圆x2+4y2=4长轴上一个顶点为A,以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形,该三角形的面积是________.15.已知sin2α+sin2β+sin2γ=1(α、β、γ均为锐角),那么cosαcosβcosγ的最大值等于________.16.已知m、n是直线,α、β、γ是平面,给出下列命题:①若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥α或n⊥β;②若α // β,α∩γ=m,β∩γ=n,则m // n;③若m不垂直于α,则m不可能垂直于α内的无数条直线;④若α∩β=m,n // m;且n∉α,n∉β,则n // α且n // β.其中正确的命题的序号是________.(注:把你认为正确的命题的序号都填上)三、解答题(共6小题,满分74分))17.设函数f(x)=x+ax+b(a>b>0),求f(x)的单调区间,并证明f(x)在其单调区间上的单调性.18.已知z7=1(z∈C且z≠1).(1)证明1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0;(2)设z的辐角为α,求cosα+cos2α+cos4α的值.19.如图已知VC是△ABC所在平面的一条斜线,点N是V在平面ABC上的射影,且在△ABC的高CD上.AB=a,VC与AB之间的距离为h,点M∈VC.(1)证明∠MDC是二面角M-AB-C的平面角;(2)当∠MDC=∠CVN时,证明VC⊥平面AMB.试卷第7页,总7页, 20.在1与2之间插入n个正数a1,a2,a3,…,an,使这n+2个数成等比数列;又在1与2之间插入n个正数b1,b2,b3,…,bn,使这n+2个数成等差数列.记An=a1a2a3...an,Bn=b1+b2+b3+...+bn.(1)求数列{An}和{Bn}的通项;(2)当n≥7时,比较An和Bn的大小,并证明你的结论.21.某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(00).过动点M(a, 0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B,|AB|≤2p.(1)求a的取值范围;(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值.试卷第7页,总7页, 参考答案与试题解析2001年北京市高考数学试卷(理)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.A2.C3.D4.D5.A6.B7.D8.B9.C10.B11.C12.C二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)13.πS2S2414.162515.26916.②④三、解答题(共6小题,满分74分)17.解:函数f(x)=x+ax+b的定义域为(-∞, -b)∪(-b, +∞).f(x)在(-∞, -b)内是减函数,f(x)在(-b, +∞)内也是减函数.证明f(x)在(-b, +∞)内是减函数.取x1,x2∈(-b, +∞),且x10,x2-x1>0,(x1+b)(x2+b)>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x)在(-b, +∞)内是减函数.同理可证f(x)在(-∞, -b)内是减函数.18.解:(1)由z(1+z+z2+z3+z4+z5+z6)=z+z2+z3+z4+z5+z6+z7=1+z+z2+z3+z4+z5+z6,得(z-1)(1+z+z2+z3+z4+z5+z6)=0.因为z≠1,z-1≠0,所以1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0.(2)因为z7=1.可知|z|=1,所以z⋅z=1,而z7=1,所以z⋅z6=1,z6=z,同理z2=z5,z4=z3,z+z2+z4=z3+z5+z6由(I)知z+z2+z4+z3+z5+z6=-1,即z+z2+z4+z+z2+z4=-1,所以z+z2+z4试卷第7页,总7页, 的实部为-12,而z的辐角为α时,复数z+z2+z4的实部为cosα+cos2α+cos4α,所以cosα+cos2α+cos4α=-12.19.(1)证明:如图由已知,CD⊥AB,VN⊥平面ABC,N∈CD,AB⊂平面ABC,∴VN⊥AB.∴AB⊥平面VNC.又V、M、N、D都在VNC所在的平面内,所以,DM与VN必相交,且AB⊥DM,AB⊥CD,∴∠MDC为二面角M-AB-C的平面角.(2)证明:由已知,∠MDC=∠CVN,在△VNC与△DMC中,∠NCV=∠MCD,又∵∠VNC=90∘,∴∠DMC=∠VNC=90∘,故有DM⊥VC,又AB⊥VC,∴VC⊥平面AMB.20.解:(1)∵1,a1,a2,a3,an,2成等比数列,∴a1an=a2an-1=a3an-2=akan-k+1=1×2=2,∴An2=(a1an)(a2an-1)(a3an-2)(an-1a2)(ana1)=(1×2)n=2n,∴An=2n2.∵1,b1,b2,b3,bn,2成等差数列,∴b1+bn=1+2=3,∴Bn=b1+bn2⋅n=32n.所以,数列{An}的通项An=2n2,数列{Bn}的通项Bn=32n.(2)∵An=2n2,Bn=32n,∴An2=2n,Bn2=94n2,要比较An和Bn的大小,只需比较An2与Bn2的大小,也即比较当n≥7时,2n与94n2的大小.当n=7时,2n=128,94n2=94×49,得知2n>94n2,试卷第7页,总7页, 经验证n=8,n=9时,均有命题2n>94n2成立.猜想当n≥7时有2n>94n2.用数学归纳法证明.①当n=7时,已验证2n>94n2,命题成立.②假设n=k(k≥7)时,命题成立,即2k>94k2,那么2k+1>2×94k2,又当k≥7时,有k2>2k+1,∴2k+1>94×(k2+2k+1)=94×(k+1)2.这就是说,当n=k+1时,命题2n>94n2成立.根据(I)、(II),可知命题对于n≥7都成立.故当n≥7时,An>Bn.21.解:1由题意得:y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1000×(1+0.6x)(00,00,00x1+x2=2(a+p)x1x2=a2 又y1=x1-a,y2=x2-a,∴|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=2[(x1+x2)2-4x1x2]=8p(p+2a).∵0<|AB|≤2p,8p(p+2a)>0,∴0<8p(p+2a)≤2p.解得-p2
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