2008年云南省昆明市中考数学试卷一、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）)1.的绝对值是（）A.B.C.D.2.下列图形是几家电信公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.3.晦晦年“五•一”放假期间，昆明市的石林风景区等主要景点共接待游客约晦晦人，晦晦用科学记数法表示为（）A.香晦B.晦香晦C.香晦D.香晦4.已知：如图，ᦙ䁡是ᦙ䳌䁡的一个外角，ᦙ䁡ꐀ，䳌ꐀ，则䁡的度数为（）A.晦B.C.晦D.5.下列运算中，正确的是（）A.ꐀB.ݔꐀݔC.ݔꐀ.Dݔꐀݔݔݔݔ6.已知：的半径为半径，的半径为半径，两圆的圆心距ꐀ半径，则两圆的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内切7.如图是正方体的平面展开图，每个面上标有一个汉字，与“油”字相对的面上的字是（）A.北B.京C.奥D.运8.某市道路改造中，需要铺设一条长为晦晦米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了，结果提前了天完成任试卷第1页，总10页
务．设原计划每天铺设管道ݔ米，根据题意，则下列方程正确的是（）晦晦晦晦晦晦晦晦A.ꐀB.ꐀݔ香ݔݔݔ晦晦晦晦晦晦晦晦C.ꐀD.ꐀ香ݔݔݔݔ9.如图，在ᦙ䳌䁡中，ᦙꐀ晦，ᦙ䁡ꐀ半径，ᦙ䳌ꐀ半径，把ᦙ䳌边翻折，使ᦙ䳌边落在䳌䁡边上，点ᦙ落在点处，折痕为䳌，则sin䳌的值为（）晦A.B.C.D.晦晦二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）)10.当ݔ________时，分式有意义．ݔ11.巳知反比例函数ꐀ晦的图象经过点，则ꐀ________．ݔ12.农科院对甲、乙两种甜玉米各晦块试验田进行试验后，得到甲、乙两个品种每公顷的平均产量相同，而甲、乙两个品种产量的方差分别为晦香晦，晦香晦晦，则甲乙产量较为稳定的品种是________（填“甲”或“乙”）．13.某数学兴趣小组利用太阳光测量一棵树的高度，如图，在同一时刻，测得树的影长为香米，小明的影长为香米，已知小明的身高为香米，则树的高度为________米．14.如图，有一个圆柱，它的高等于半径，底面半径等干半径，在圆柱下底面的ᦙ点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与ᦙ点相对的䳌点处的食物，需要爬行的最短路程是________半径．取15.如图，ᦙ䳌䁡中，䳌䁡ᦙ＝晦，䳌ᦙ䁡＝晦，ᦙ䳌＝．ᦙ䳌䁡以点䳌为中心逆时针旋转，使点䁡旋转至ᦙ䳌边延长线上的䁡处，那么ᦙ䁡边转过的图形（图中阴影部分）的面积是________．试卷第2页，总10页
三、解答题（共10小题，满分75分）)晦晦晦．16.计算：17.解方程：ꐀݔݔ18.在如图所示出方格纸中，每个小正方形的边长都为．画出将铅笔图形ᦙ䳌䁡向上平移格得到的铅笔图形ᦙ䳌䁡；将铅笔图形ᦙ䳌䁡，绕点ᦙ，逆时针旋转晦，画出转后的铅笔图形ᦙ䳌䁡．19.为了了解某区九年级女生的体能情况，在该区九年级随机抽取晦晦名女生进行分钟仰卧起坐测试，统计出每位女生分钟仰卧起坐的次数（次数为整数），根据测试数据制成频率分布表如下：组别分组频数频率第组香香晦香晦第组香香①第组香香晦香第组香香②③第组香香晦晦香第组香香晦香晦合计晦晦（1）填出频率分布表中空缺的数据：①ꐀ________，②ꐀ________，③ꐀ________；（2）在这个问题中，样本容量是________，仰卧起坐出次数的众数落在第________组；试卷第3页，总10页
（3）若分钟仰卧起坐的次数为晦次以上（含晦次）的为合格，该区共有晦晦名女生，请估计这个地区九年级女生仰卧起坐达到合格的约有多少人？20.己知：如图，点为平行四边形ᦙ䳌䁡中䁡边的延长线上一点，连接䳌，交ᦙ，于点，探究：当与䁡有什么数量关系时，ᦙ䳌．画出图形并证明ᦙ䳌．21.某住宅小区为了美化环境，增加绿地面积，决定在坡地上的甲楼和乙楼之间建一块斜坡草地，如图，已知两楼的水平距离为米，距离甲楼米（即ᦙ䳌ꐀ米）开始修建坡角为晦的斜坡，斜坡的顶端距离乙楼米（即䁡ꐀ米），求斜坡䳌䁡的长度（结果保留根号）．22.某种形如长方体的晦晦晦毫升盒装果汁，其盒底面是边长为晦半径的正方形．现从盒中倒出果汁，盒中剩余汁的体积（毫升）与果汁下降高度ݔ半径之间的函数系如图所示（盒子的厚度不计）．（1）求出与ݔ量变自出写并，式系关数函的ݔ的取值范围；（2）若将满盒果汁倒出一部分，下降的高度为半径，剩余的果汁还能够倒满每个容积为晦毫升的个纸杯吗？请计算说明．23.小昆和小明玩摸牌和转转盘游戏，游戏规则如下：先摸牌，有两张背面完全相同、牌面数字是和的扑克牌，背面朝上洗匀后从中抽出一张，抽得的牌面数字即为得分：后转动一个转盘．转盘被分个相等的扇形，并标上，、、，转盘停止后，指针所在区域的数字即为得分（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一区域为止）．（1）利用树状图或列表的方法（只选其中一种）表示出游戏可能出现的所有结果；（2）若两次得分之和为总分，写出所有的总分．小昆和小明约定：总分是的倍数，试卷第4页，总10页
则小昆获胜；总分不是的倍数，则小明获胜，这个游戏公平吗？为什么？24.某校决定购买一些跳绳和排球．需要的跳绳数量是排球数量的倍，购买的总费用不低于晦晦元，但不高于晦晦元（1）商场内跳绳的售价晦元/根，排球的售价为晦元/个，设购买跳绳的数量为ݔ，按照学校所定的费用，有几种购买方案？每种方案中跳绳和排球数量各为多少？（2）在（1）的方案中，哪一种方案的总费用最少？最少费用是多少元？（3）由于购买数量较多，该商规定晦元/根跳绳可打九折，晦元/个的排球可打八折，用（2）中的最少费用最多还可以多买多少跳绳和排球？25.如图，在直角坐标系中，以点晦为圆心，以为半径的圆分别交ݔ轴的正半轴于点ᦙ，交ݔ交线直的䁡点过，䁡点于轴半正的轴交，䳌点于交轴半负的轴ݔ轴的负半轴于点晦（1）求ᦙ，䁡两点的坐标；（2）求证：直线䁡是的切线；（3）若抛物线ꐀݔܾݔ半经过，ᦙ两点，求此抛物线的解析式；（4）连接ᦙ䁡，若（3）中抛物线的对称轴分别与直线䁡交于点，与ᦙ䁡交于点．如果点是抛物线上的动点，是否存在这样的点，使得ᦙ䁡ꐀ？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）试卷第5页，总10页
参考答案与试题解析2008年云南省昆明市中考数学试卷一、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）1.B2.C3.A4.C5.D6.B7.A8.B9.D二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）10.11.晦12.乙13.香14.晦15.三、解答题（共10小题，满分75分）16.解：原式ꐀꐀ．17.解：原方程可化为：ꐀ，ݔݔ方程的两边同乘ݔ，得ꐀݔ，解得ݔꐀ．检验：把ݔ入代ꐀݔꐀ晦．∴原方程的解为：ݔꐀ．18.解：作出平移后的图形得，作出旋转后的图形得．试卷第6页，总10页
19.,,,（3）合格率为：晦晦ꐀ晦晦合格人数晦晦ꐀ（人）答：该地区九年级女生仰卧起坐达标到合格的约有人．20.解：当ꐀ䁡时，ᦙ䳌．画出图形如图：证明：∵四边形ᦙ䳌䁡是平行四边形∴ᦙ䳌ꐀ䁡，ᦙ䳌䁡，∴䳌ᦙꐀ，又∵ꐀ䁡，∴ᦙ䳌ꐀ，䳌ᦙꐀ在ᦙ䳌和中ᦙ䳌ꐀᦙ䳌ꐀ∴ᦙ䳌中ᦙᦙ．21.斜坡䳌䁡的长度为米．22.解：（1）由图象可知，是ݔ的一次函数，设此一次函数的解析式为：ꐀݔܾ晦点和点是一次函数图象上∵点晦晦晦晦和点晦晦在一次函数上．ܾꐀ晦晦晦∴晦ܾꐀ晦ꐀ晦晦解得：ܾꐀ晦晦晦则函数解析式是ꐀ晦晦ݔ晦晦晦自变量的取值范围是：晦ݔ晦（2）当ݔꐀ时，ꐀ晦晦晦晦晦ꐀ晦晦∵晦晦Ͳ晦∴剩余的果汁不够倒满每个容积为晦毫升的个纸杯．23.解：（1）树状图如下：列表如下：试卷第7页，总10页
（2）所有的总分为：，，，，，，，晦．∵（小昆获胜）ꐀ，（小明获胜）ꐀ；∴游戏不公平．24.根据题意得：ݔ晦ݔ晦晦晦ݔ晦ݔ晦晦晦解得晦ݔ．∵ݔ为正整数∴ݔ可取晦，，，，，，，，∵ݔ也必需是整数∴ݔ可取晦，，．∴有三种购买方案：方案一：跳绳晦根，排球晦个；方案二：跳绳根，排球个；方案三：跳绳根，排球个．在（1）中，方案一购买的总数量最少，所以总费用最少最少费用为：晦晦晦晦＝晦晦．答：方案一购买的总数量最少，所以总费用最少，最少费用为晦晦元．设用（2）中的最少费用最多还可以多买的排球数量为，晦晦晦晦晦晦晦晦，解得：，∵为正整数，∴满足的最大正整数为∴多买的跳绳为：＝（根）．答：用（2）中的最少费用最多还可以多买根跳绳和个排球．25.解：（1）连接䁡，由题意得：ꐀ，䳌ꐀ，ꐀ，䁡ꐀᦙꐀᦙꐀꐀᦙ晦∵䁡ꐀ䁡ꐀ试卷第8页，总10页
∴䁡晦（2）证法一：在䁡中，∵䁡ꐀ䁡ꐀ在䁡中，∵䁡䁡ꐀꐀꐀꐀꐀ∴䁡䁡ꐀ∴䁡直角三角形．∴䁡䁡，而䁡是的半径∴䁡是的切线．证法二：在䁡中，∵sin䁡ꐀꐀ，䁡∴䁡ꐀ晦在䁡中，∵tan䁡ꐀꐀꐀ，䁡∴䁡ꐀ晦∴䁡ꐀ䁡䁡ꐀ晦∴䁡䁡，而䁡中的半径．ܾ半ꐀ晦（3）由抛物线ꐀݔܾݔ半经过点晦和点ᦙ晦，可得：ܾ半ꐀ晦ܾꐀ解得：半ꐀ∴抛物线的解析式为：ꐀݔݔ．（4）存在设抛物线的对称轴交ݔ轴于点在（2）中已证：∴䁡ꐀ晦，䁡ꐀ晦∵抛物线的对称轴平行于，∴䁡ꐀ䁡ꐀ晦∵ꐀᦙꐀ，∴䁡垂直平分ᦙ∴䁡ᦙꐀ䁡ꐀ晦在ᦙ中，ᦙꐀ晦∴䁡ꐀ晦∴䁡是等边三角形试卷第9页，总10页
过点䁡作䁡于点，则䁡ꐀ可得：ꐀ，䁡ꐀ䁡ꐀꐀ；若点在轴的上方，设点坐标为ݔ，ᦙꐀᦙꐀ，ᦙ䁡ꐀ∴ꐀ，解得：ꐀ．当ꐀ时，即ݔ得解，ꐀݔݔꐀ∴或．②若点在ݔ轴上，则点与点或与点ᦙ重合，此时构不成三角形．③若点在ݔ为标坐的点设，方下轴ݔᦙꐀᦙꐀ，ᦙ䁡ꐀ∴ꐀ解得：ꐀ当ꐀ时，即ݔ得解，ꐀݔݔꐀ．∴或．∴这样的点共有个，∴或或或．试卷第10页，总10页
2008年云南省昆明市中考数学试卷一、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）)1.的绝对值是（）A.B.C.D.2.下列图形是几家电信公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.3.晦晦年“五•一”放假期间，昆明市的石林风景区等主要景点共接待游客约晦晦人，晦晦用科学记数法表示为（）A.香晦B.晦香晦C.香晦D.香晦4.已知：如图，ᦙ䁡是ᦙ䳌䁡的一个外角，ᦙ䁡ꐀ，䳌ꐀ，则䁡的度数为（）A.晦B.C.晦D.5.下列运算中，正确的是（）A.ꐀB.ݔꐀݔC.ݔꐀ.Dݔꐀݔݔݔݔ6.已知：的半径为半径，的半径为半径，两圆的圆心距ꐀ半径，则两圆的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内切7.如图是正方体的平面展开图，每个面上标有一个汉字，与“油”字相对的面上的字是（）A.北B.京C.奥D.运8.某市道路改造中，需要铺设一条长为晦晦米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了，结果提前了天完成任试卷第1页，总10页
务．设原计划每天铺设管道ݔ米，根据题意，则下列方程正确的是（）晦晦晦晦晦晦晦晦A.ꐀB.ꐀݔ香ݔݔݔ晦晦晦晦晦晦晦晦C.ꐀD.ꐀ香ݔݔݔݔ9.如图，在ᦙ䳌䁡中，ᦙꐀ晦，ᦙ䁡ꐀ半径，ᦙ䳌ꐀ半径，把ᦙ䳌边翻折，使ᦙ䳌边落在䳌䁡边上，点ᦙ落在点处，折痕为䳌，则sin䳌的值为（）晦A.B.C.D.晦晦二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）)10.当ݔ________时，分式有意义．ݔ11.巳知反比例函数ꐀ晦的图象经过点，则ꐀ________．ݔ12.农科院对甲、乙两种甜玉米各晦块试验田进行试验后，得到甲、乙两个品种每公顷的平均产量相同，而甲、乙两个品种产量的方差分别为晦香晦，晦香晦晦，则甲乙产量较为稳定的品种是________（填“甲”或“乙”）．13.某数学兴趣小组利用太阳光测量一棵树的高度，如图，在同一时刻，测得树的影长为香米，小明的影长为香米，已知小明的身高为香米，则树的高度为________米．14.如图，有一个圆柱，它的高等于半径，底面半径等干半径，在圆柱下底面的ᦙ点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与ᦙ点相对的䳌点处的食物，需要爬行的最短路程是________半径．取15.如图，ᦙ䳌䁡中，䳌䁡ᦙ＝晦，䳌ᦙ䁡＝晦，ᦙ䳌＝．ᦙ䳌䁡以点䳌为中心逆时针旋转，使点䁡旋转至ᦙ䳌边延长线上的䁡处，那么ᦙ䁡边转过的图形（图中阴影部分）的面积是________．试卷第2页，总10页
三、解答题（共10小题，满分75分）)晦晦晦．16.计算：17.解方程：ꐀݔݔ18.在如图所示出方格纸中，每个小正方形的边长都为．画出将铅笔图形ᦙ䳌䁡向上平移格得到的铅笔图形ᦙ䳌䁡；将铅笔图形ᦙ䳌䁡，绕点ᦙ，逆时针旋转晦，画出转后的铅笔图形ᦙ䳌䁡．19.为了了解某区九年级女生的体能情况，在该区九年级随机抽取晦晦名女生进行分钟仰卧起坐测试，统计出每位女生分钟仰卧起坐的次数（次数为整数），根据测试数据制成频率分布表如下：组别分组频数频率第组香香晦香晦第组香香①第组香香晦香第组香香②③第组香香晦晦香第组香香晦香晦合计晦晦（1）填出频率分布表中空缺的数据：①ꐀ________，②ꐀ________，③ꐀ________；（2）在这个问题中，样本容量是________，仰卧起坐出次数的众数落在第________组；试卷第3页，总10页
（3）若分钟仰卧起坐的次数为晦次以上（含晦次）的为合格，该区共有晦晦名女生，请估计这个地区九年级女生仰卧起坐达到合格的约有多少人？20.己知：如图，点为平行四边形ᦙ䳌䁡中䁡边的延长线上一点，连接䳌，交ᦙ，于点，探究：当与䁡有什么数量关系时，ᦙ䳌．画出图形并证明ᦙ䳌．21.某住宅小区为了美化环境，增加绿地面积，决定在坡地上的甲楼和乙楼之间建一块斜坡草地，如图，已知两楼的水平距离为米，距离甲楼米（即ᦙ䳌ꐀ米）开始修建坡角为晦的斜坡，斜坡的顶端距离乙楼米（即䁡ꐀ米），求斜坡䳌䁡的长度（结果保留根号）．22.某种形如长方体的晦晦晦毫升盒装果汁，其盒底面是边长为晦半径的正方形．现从盒中倒出果汁，盒中剩余汁的体积（毫升）与果汁下降高度ݔ半径之间的函数系如图所示（盒子的厚度不计）．（1）求出与ݔ量变自出写并，式系关数函的ݔ的取值范围；（2）若将满盒果汁倒出一部分，下降的高度为半径，剩余的果汁还能够倒满每个容积为晦毫升的个纸杯吗？请计算说明．23.小昆和小明玩摸牌和转转盘游戏，游戏规则如下：先摸牌，有两张背面完全相同、牌面数字是和的扑克牌，背面朝上洗匀后从中抽出一张，抽得的牌面数字即为得分：后转动一个转盘．转盘被分个相等的扇形，并标上，、、，转盘停止后，指针所在区域的数字即为得分（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一区域为止）．（1）利用树状图或列表的方法（只选其中一种）表示出游戏可能出现的所有结果；（2）若两次得分之和为总分，写出所有的总分．小昆和小明约定：总分是的倍数，试卷第4页，总10页
则小昆获胜；总分不是的倍数，则小明获胜，这个游戏公平吗？为什么？24.某校决定购买一些跳绳和排球．需要的跳绳数量是排球数量的倍，购买的总费用不低于晦晦元，但不高于晦晦元（1）商场内跳绳的售价晦元/根，排球的售价为晦元/个，设购买跳绳的数量为ݔ，按照学校所定的费用，有几种购买方案？每种方案中跳绳和排球数量各为多少？（2）在（1）的方案中，哪一种方案的总费用最少？最少费用是多少元？（3）由于购买数量较多，该商规定晦元/根跳绳可打九折，晦元/个的排球可打八折，用（2）中的最少费用最多还可以多买多少跳绳和排球？25.如图，在直角坐标系中，以点晦为圆心，以为半径的圆分别交ݔ轴的正半轴于点ᦙ，交ݔ交线直的䁡点过，䁡点于轴半正的轴交，䳌点于交轴半负的轴ݔ轴的负半轴于点晦（1）求ᦙ，䁡两点的坐标；（2）求证：直线䁡是的切线；（3）若抛物线ꐀݔܾݔ半经过，ᦙ两点，求此抛物线的解析式；（4）连接ᦙ䁡，若（3）中抛物线的对称轴分别与直线䁡交于点，与ᦙ䁡交于点．如果点是抛物线上的动点，是否存在这样的点，使得ᦙ䁡ꐀ？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）试卷第5页，总10页
参考答案与试题解析2008年云南省昆明市中考数学试卷一、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）1.B2.C3.A4.C5.D6.B7.A8.B9.D二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）10.11.晦12.乙13.香14.晦15.三、解答题（共10小题，满分75分）16.解：原式ꐀꐀ．17.解：原方程可化为：ꐀ，ݔݔ方程的两边同乘ݔ，得ꐀݔ，解得ݔꐀ．检验：把ݔ入代ꐀݔꐀ晦．∴原方程的解为：ݔꐀ．18.解：作出平移后的图形得，作出旋转后的图形得．试卷第6页，总10页
19.,,,（3）合格率为：晦晦ꐀ晦晦合格人数晦晦ꐀ（人）答：该地区九年级女生仰卧起坐达标到合格的约有人．20.解：当ꐀ䁡时，ᦙ䳌．画出图形如图：证明：∵四边形ᦙ䳌䁡是平行四边形∴ᦙ䳌ꐀ䁡，ᦙ䳌䁡，∴䳌ᦙꐀ，又∵ꐀ䁡，∴ᦙ䳌ꐀ，䳌ᦙꐀ在ᦙ䳌和中ᦙ䳌ꐀᦙ䳌ꐀ∴ᦙ䳌中ᦙᦙ．21.斜坡䳌䁡的长度为米．22.解：（1）由图象可知，是ݔ的一次函数，设此一次函数的解析式为：ꐀݔܾ晦点和点是一次函数图象上∵点晦晦晦晦和点晦晦在一次函数上．ܾꐀ晦晦晦∴晦ܾꐀ晦ꐀ晦晦解得：ܾꐀ晦晦晦则函数解析式是ꐀ晦晦ݔ晦晦晦自变量的取值范围是：晦ݔ晦（2）当ݔꐀ时，ꐀ晦晦晦晦晦ꐀ晦晦∵晦晦Ͳ晦∴剩余的果汁不够倒满每个容积为晦毫升的个纸杯．23.解：（1）树状图如下：列表如下：试卷第7页，总10页
（2）所有的总分为：，，，，，，，晦．∵（小昆获胜）ꐀ，（小明获胜）ꐀ；∴游戏不公平．24.根据题意得：ݔ晦ݔ晦晦晦ݔ晦ݔ晦晦晦解得晦ݔ．∵ݔ为正整数∴ݔ可取晦，，，，，，，，∵ݔ也必需是整数∴ݔ可取晦，，．∴有三种购买方案：方案一：跳绳晦根，排球晦个；方案二：跳绳根，排球个；方案三：跳绳根，排球个．在（1）中，方案一购买的总数量最少，所以总费用最少最少费用为：晦晦晦晦＝晦晦．答：方案一购买的总数量最少，所以总费用最少，最少费用为晦晦元．设用（2）中的最少费用最多还可以多买的排球数量为，晦晦晦晦晦晦晦晦，解得：，∵为正整数，∴满足的最大正整数为∴多买的跳绳为：＝（根）．答：用（2）中的最少费用最多还可以多买根跳绳和个排球．25.解：（1）连接䁡，由题意得：ꐀ，䳌ꐀ，ꐀ，䁡ꐀᦙꐀᦙꐀꐀᦙ晦∵䁡ꐀ䁡ꐀ试卷第8页，总10页
∴䁡晦（2）证法一：在䁡中，∵䁡ꐀ䁡ꐀ在䁡中，∵䁡䁡ꐀꐀꐀꐀꐀ∴䁡䁡ꐀ∴䁡直角三角形．∴䁡䁡，而䁡是的半径∴䁡是的切线．证法二：在䁡中，∵sin䁡ꐀꐀ，䁡∴䁡ꐀ晦在䁡中，∵tan䁡ꐀꐀꐀ，䁡∴䁡ꐀ晦∴䁡ꐀ䁡䁡ꐀ晦∴䁡䁡，而䁡中的半径．ܾ半ꐀ晦（3）由抛物线ꐀݔܾݔ半经过点晦和点ᦙ晦，可得：ܾ半ꐀ晦ܾꐀ解得：半ꐀ∴抛物线的解析式为：ꐀݔݔ．（4）存在设抛物线的对称轴交ݔ轴于点在（2）中已证：∴䁡ꐀ晦，䁡ꐀ晦∵抛物线的对称轴平行于，∴䁡ꐀ䁡ꐀ晦∵ꐀᦙꐀ，∴䁡垂直平分ᦙ∴䁡ᦙꐀ䁡ꐀ晦在ᦙ中，ᦙꐀ晦∴䁡ꐀ晦∴䁡是等边三角形试卷第9页，总10页
过点䁡作䁡于点，则䁡ꐀ可得：ꐀ，䁡ꐀ䁡ꐀꐀ；若点在轴的上方，设点坐标为ݔ，ᦙꐀᦙꐀ，ᦙ䁡ꐀ∴ꐀ，解得：ꐀ．当ꐀ时，即ݔ得解，ꐀݔݔꐀ∴或．②若点在ݔ轴上，则点与点或与点ᦙ重合，此时构不成三角形．③若点在ݔ为标坐的点设，方下轴ݔᦙꐀᦙꐀ，ᦙ䁡ꐀ∴ꐀ解得：ꐀ当ꐀ时，即ݔ得解，ꐀݔݔꐀ．∴或．∴这样的点共有个，∴或或或．试卷第10页，总10页
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